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Traza de una matriz – Definición y ejemplos

La traza (tr) de una matriz A se obtiene al sumar los elementos de la diagonal principal de la matriz A, para ello, es necesario que la matriz A sea cuadrada, de orden nxn, es decir, que la matriz A debe tener un número de renglones igual al número de columnas.

Por ejemplo, sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 9 & 12 & -6\\ 12 & -3 & 0\\ -15 & 1 & 8\end{bmatrix}

La traza de la matriz A se calcula como:

tr=9+(-3)+8=14

Así, la definición de la traza de una matriz es la siguiente:

La traza de una matriz A de orden nxn se denota por tr y, se define como la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz A:

tr=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ii}

para i=1, 2, 3,…,n.

Lo anterior lo podemos escribir como:

tr=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{ii}

Ejemplo 1:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 10 & 4\\ 8 & -5\end{bmatrix}

La matriz A es una matriz cuadrada de 2×2 (dos renglones y dos columnas), entonces, la traza se calcula como:

tr=\displaystyle\sum_{i=1}^{2} a_{ii}

tr=a_{11}+a_{22}

tr=10+(-5)=5

Ejemplo 2:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 9 & 12 & -6\\ 12 & -3 & 0\\ -15 & 1 & -2\end{bmatrix}

Tenemos que la matriz A es de orden 3×3 (tres renglones y tres columnas), por lo que su traza se calcula como:

tr=\displaystyle\sum_{i=1}^{3} a_{ii}

tr=a_{11}+a_{22}+a_{33}

tr=9+(-3)+(-2)=4

Ejemplo 3:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 3 & -2 & 8 & 11\\ 5 & 0 & 0 & 1\\ -5 & 1 & \frac{1}{2} & 6\\ 8 & -10 & 10 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}

La matriz A es cuadrada de orden 4×4 (cuatro renglones y cuatro columnas), luego, su traza se calcula como sigue:

tr=\displaystyle\sum_{i=1}^{4} a_{ii}

tr=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}

tr=3+0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=4

Ejemplo 4:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 1+i & 2 & 11i\\ 15i & -2-i & 9\\ -1 & 0 & 3+4i\end{bmatrix}

La matriz A de nuestro ejemplo es cuadrada de orden 3×3 (tres renglones y tres columnas) además, se tiene que los elementos de la matriz pertenecen a los números complejos, la traza se calcula del mismo modo que los ejemplos anteriores:

tr=\displaystyle\sum_{i=1}^{3} a_{ii}

tr=a_{11}+a_{22}+a_{33}

tr=(1+i)+(-2-i)+(3+4i)=2+4i

El resultado se obtuvo sumando la parte real y la parte imaginaria y, expresando el resultado en la forma binómica de un número complejo.

Ejemplo 5:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 2x & -y & 8 & 3z\\ 4y & 10 & -8 & -\frac{3}{5}\\ 6z & 11 & x+y & \sqrt{2}\\ 0 & -1z & 9x & -2y\end{bmatrix}

La matriz A es de orden 4×4 (cuatro renglones y cuatro columnas), además, algunos de sus elementos son literales, se procede del mismo modo que en los ejemplos anteriores:

tr=\displaystyle\sum_{i=1}^{4} a_{ii}

tr=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}

tr=2x+10+(x+y)+(-2y)=3x-y+10

Ejemplos 6:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

La matriz A es de orden 3×3 (tres renglones y tres columnas), además, los únicos elementos diferentes de cero son aquellos que forman la diagonal principal y todos ellos son iguales a 1, por lo tanto, es una matriz identidad de orden 3, la traza se calcula de la siguiente manera:

tr=\displaystyle\sum_{i=1}^{3} a_{ii}

tr=a_{11}+a_{22}+a_{33}

tr=1+1+1=3

La traza de una matriz identidad es igual a su orden, es decir que para una matriz de orden 2 su traza es igual a 2, para una matriz identidad de orden 3 su traza es igual a 3 y, así sucesivamente. Generalizando, decimos que una matriz identidad de orden n tiene una traza igual a n.

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Cómo citar

García, Sergio. (06 febrero 2020). Traza de una matriz – Definición y ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.