Expresiones racionales – suma y resta, ejemplos

Las expresiones racionales se suman y restan como las fracciones, es decir, se necesita que las expresiones racionales tengan el mismo denominador, luego de sumar o restar se revisa que la expresión esté simplificada.

Índice

Pasos para sumar o restar expresiones racionales
Suma de expresiones racionales
Resta de expresiones racionales

Una expresión racional es una razón de dos polinomios, por ejemplo:

$\frac{x+2}{x+3}$

Pasos para sumar o restar expresiones racionales

Para sumar o restar expresiones racionales se siguen los siguientes pasos:

Factorizar los denominadores de las expresiones racionales que se desea sumar o restar.
Determinar el mínimo común denominador (mcd) de todas las expresiones en la suma o resta.
Escribir cada expresión racional como una fracción equivalente cuyo denominador es el mcd determinado en el paso anterior.
Sumar o restar los numeradores y escribir el mcd como en el denominador.
Simplificar.

Cada uno de los factores en el mcd se eleva a la mayor potencia a la que aparece en cualquiera de los denominadores de las expresiones que se suman o restan.

Suma de expresiones racionales

Las expresiones racionales, como las fracciones, se pueden sumar cuando tienen un denominador común.

Si a, b y c son expresiones racionales y $b\neq0$ , entonces:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

Ejemplo:

$\frac{5}{9x}+\frac{7}{15x^{2}}$

Se factorizan los denominadores de ambas expresiones:

$\frac{5}{9x}+\frac{7}{15x^{2}}=\frac{5}{3^{2}x}+\frac{7}{3\cdot5x^{2}}$

El mcd se escribe como el producto de factores primos y cada factor se eleva a la mayor potencia a la que aparece en cualquiera de los denominadores, entonces, el mcd es $3^{2}\cdot5x^{2}$ .

Se escribe cada expresión racional como una fracción equivalente cuyo denominador es el mcd:

$\frac{5}{9x}+\frac{7}{15x^{2}}=\frac{5\cdot5x}{3^{2}\cdot5x^{2}}+\frac{7\cdot3}{3^{2}\cdot5x^{2}}$

Se suman los numeradores y el mcd se escribe en el denominador:

$\frac{5}{9x}+\frac{7}{15x^{2}}=\frac{25x+21}{3^{2}\cdot5x^{2}}$

Lo que es igual a:

$\frac{5}{9x}+\frac{7}{15x^{2}}=\frac{25x+21}{45x^{2}}$

El último paso es simplificar la expresión, pero en este caso, la expresión ya está simplificada.

Ejemplo:

$\frac{x^{2}}{x+3}+\frac{6x+9}{x+3}$

En este caso, las expresiones racionales que se suman ya están expresadas con el mismo denominador, entonces, se suman los numeradores, escribiendo en el denominador $x+3$ :

$\frac{x^{2}}{x+3}+\frac{6x+9}{x+3}=\frac{x^{2}+6x+9}{x+3}$

Se factoriza el numerador:

$\frac{x^{2}}{x+3}+\frac{6x+9}{x+3}=\frac{\left(x+3\right)\left(x+3\right)}{x+3}$

Finalmente, se simplifica al dividir $x+3$ en el numerador entre $x+3$ en el denominador:

$\frac{x^{2}}{x+3}+\frac{6x+9}{x+3}=x+3$

Resta de expresiones racionales

Las expresiones racionales se pueden restar cuando tienen un denominador común.

Si a, b y c son expresiones racionales y $b\neq0$ , entonces:

$\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$

Ejemplo:

$\frac{3x}{x^{2}-4x+4}-\frac{2x}{3x^{2}-5x-2}$

Se factorizar los denominadores:

$\frac{3x}{x^{2}-4x+4}-\frac{2x}{3x^{2}-5x-2}=\frac{3x}{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}-\frac{2x}{\left(3x+1\right)\left(x-2\right)}$

El mcd es $\left(x-2\right)\left(x-2\right)\left(3x+1\right)$ .

Luego, se escribe cada expresión racional en la resta como una fracción equivalente cuyo denominador es el mcd:

$\frac{3x}{x^{2}-4x+4}-\frac{2x}{3x^{2}-5x-2}=\frac{3x\left(3x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-2\right)\left(3x+1\right)}-\frac{2x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-2\right)\left(3x+1\right)}$