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Cómo simplificar fracciones compuestas o complejas

En una fracción compuesta se presentan una o más fracciones en el numerador o denominador, los métodos para simplificarlas consisten en proceder según el orden de las operaciones o, alternativamente, multiplicar el numerador y denominador de la fracción compuesta por el mínimo común denominador de las fracciones individuales.

Índice

Qué es una fracción compuesta

Una fracción compuesta o, también llamada fracción compleja, es una expresión matemática que se presenta con una o más fracciones en el numerador y/o en el denominador. Las siguientes son ejemplos de fracciones compuestas:

Ejemplo:

\frac{\frac{x}{y}-\frac{x}{5}}{\frac{y}{8}+\frac{y}{x}}

Ejemplo:

\frac{\frac{x}{10}-7}{\frac{y}{2x}+\left(x-1\right)}

Método I para simplificar fracciones compuestas

  • Primero, se suman o restan las fracciones en el numerador y en el denominador por separado, el propósito es tener una fracción en el numerador y una fracción en el denominador.
  • Se dividen las fracciones.
  • Se simplifica siempre que sea posible.

Ejemplo:

\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}

Se suman las fracciones en el numerador y se restan las fracciones en el denominador:

\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}=\frac{\frac{\left(x\cdot x\right)-\left(3\cdot3\right)}{3x}}{\frac{x-3}{3x}}

Se simplifica el numerador:

\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}=\frac{\frac{x^{2}-9}{3x}}{\frac{x-3}{3x}}

Alternativamente, se puede escribir:

\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}=\frac{x^{2}-9}{3x}\div\frac{x-3}{3x}

Se expresa la división como un producto, es decir, se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda:

\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}=\frac{x^{2}-9}{3x}\cdot\frac{3x}{x-3}

Se expresa el producto y se factoriza:

\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}=\frac{3x\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{3x\left(x-3\right)}

Se simplifica por división de factores comunes en el numerador y denominador:

\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}=x+3

Método II para simplificar fracciones compuestas

  • Se multiplican el numerador y denominador de la fracción compleja por el mínimo común denominador (mcd) de las fracciones individuales que forman la fracción compleja.
  • Se aplica la propiedad distributiva en el numerador y denominador de la fracción compleja.
  • Se factorizan el numerador y el denominador.
  • Se simplifica siempre que sea posible.

Ejemplo:

\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}

El mcd de las fracciones individuales que forman la fracción compuesta es x^{2}y^{2}, entonces, se multiplica el numerador y denominador por el mcd:

\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}=\frac{x^{2}y^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}\right)}{x^{2}y^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)}

Se aplica la propiedad distributiva en el numerador y denominador:

\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}=\frac{\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}}-\frac{x^{2}y^{2}}{y^{2}}}{\frac{x^{2}y^{2}}{x}-\frac{x^{2}y^{2}}{y}}

Se dividen factores comunes:

\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{xy^{2}-x^{2}y}

Se factoriza el numerador y el denominador:

\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}=\frac{\left(y+x\right)\left(y-x\right)}{xy\left(y-x\right)}

Se simplifica dividiendo factores comunes:

\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}=\frac{y+x}{xy}

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Cómo citar

García, Sergio. (14 noviembre 2023). Cómo simplificar fracciones compuestas o complejas. Celeberrima.com. Última actualización el 14 noviembre 2023.