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¿Qué es la probabilidad?
La probabilidad es una medida de la incertidumbre relacionada con la ocurrencia de un evento, tomando valores entre 0 y 1, los valores más cercanos a 0 indican que la probabilidad de ocurrencia de un evento es muy baja, los valores cercanos a 1 indican que hay altas probabilidades de que ocurra un evento.
Por ejemplo, la probabilidad de que caiga un número par después de lanzar un dado es igual 0.5, el dado tiene 6 caras y la mitad de ellas corresponden a números pares (3/6=0.5). Una probabilidad de 0.5 indica que es igualmente probable que caiga un número par como un número impar.
¿Qué es un experimento?
Un experimento es un procedimiento que se puede repetir bajo las mismas condiciones y cuyo resultado no se puede predecir con certeza, no obstante, se sabe que tiene uno o más resultados posibles (espacio muestral), y se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados. Por ejemplo, al lanzar una moneda no sabemos cuál será el resultado, pero sí sabemos que hay dos caras y que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de estos resultados es igual a 0.5. Un razonamiento similar se aplica cuando se lanza un dado o se saca una carta de una baraja. Cuando compramos un billete de lotería, aunque esperamos ganar, no sabemos el resultado, pero podemos calcular la probabilidad de ganar. El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Un punto muestral es un resultado del experimento.
El espacio muestral E de lanzar un dado se describe como sigue:
Reglas de conteo
Las reglas de conteo nos permiten conocer el número de resultados posibles de un experimento sin necesidad de enumerarlos.
Experimentos de pasos múltiples
Un experimento de pasos múltiples es una sucesión de k pasos en los que hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados posibles en el segundo paso, y así sucesivamente. El número total de resultados experimentales se determina multiplicando el número de posibles resultados en cada paso.
Si lanzamos dos monedas, a la cara la denotamos como C y a la cruz como Z, entonces el número total de resultados es 4 porque para el primer paso (lanzar la primera moneda) se tienen dos posibles resultados y para el segundo paso (lanzar la segunda moneda) se tienen dos posibles resultados. El espacio muestral E del experimento de lanzar una moneda es el siguiente:
Hay cuatro resultados experimentales, cuatro puntos muestrales. El resultado (C,C) indica que se ha obtenido cara en ambas monedas. Un diagrama de árbol facilita visualizar todos los posibles resultados de un experimento de pasos múltiples.
Regla de conteo para combinaciones
El número de combinaciones de N objetos tomados de n en n se calcula de la siguiente manera:
Es importante recordar que por definición el factorial de cero es igual a 1 (0!=1). Si un profesor tiene que seleccionar a 3 (n=3) estudiantes de un grupo de 15 (N=15), se tiene que:
Hay 455 posibles resultados o combinaciones. Otro ejemplo es de un juego de azar en el que se seleccionan 6 números de entre 56.
Si una persona participa en este juego, tiene 1 en 32,468,436 posibilidades de obtener el primer premio.
Regla de conteo para permutaciones
El número de permutaciones de N objetos tomados de n en n se calcula de la siguiente manera:
En el caso de las permutaciones, el orden de selección es importante, n objetos seleccionados en orden diferente se considera un resultado diferente, cada selección de n objetos se ordena de n! maneras diferentes, razón por la que el número de permutaciones es mayor que el número de combinaciones.
Un inspector de calidad selecciona 2 (n=2) piezas al azar de una caja de 4 (N=4) para probar que no tienen defectos. ¿Cuántas permutaciones puede seleccionar?
Si las piezas son A, B, C y D, entonces los posibles resultados son AB, AC, AD, BC, BD, CD, BA, CA, DA, CB, DB, DC. Si el orden en que se seleccionan las piezas no importa, entonces se calcula el número de combinaciones:
Existen seis posibles combinaciones: AB, AC, AD, BC, BD, CD.