Radicales – definición, multiplicación y simplificación

En este artículo se definen los radicales o raíces n-ésimas, se explica cómo simplificar radicales, se definen los exponentes racionales, se explica cómo simplificar los exponentes racionales, se enuncian las propiedades de los radicales, se explica cómo se aplica la propiedad del producto y la propiedad del cociente para simplificar radicales, se explica qué son los radicales semejantes y se explica la suma, la resta y la multiplicación de radicales.

Índice

Definición de radicales o raíces n-ésimas
Simplificación de raíces n-ésimas
Definición de exponentes racionales
Propiedades de los radicales
Simplificación de radicales utilizando la propiedad del producto
Simplificación de radicales utilizando la propiedad del cociente
Radicales semejantes
Sumar y restar radicales
Multiplicación de expresiones radicales

Definición de radicales o raíces n-ésimas

Se tiene que para un número entero positivo $n>1$ , la raíz n-ésima principal de $a$ , denotada como $\sqrt[n]{a}$ es un número $b$ tal que:

$\sqrt[n]{a}=b$ , se lee la raíz n-ésima de a es igual a b.

Lo que significa que:

$b^{n}=a$ , se lee b elevado a la n-ésima potencia es igual a a.

Además, si el índice $n$ de la raíz es un número par, se necesita que $a\geq0$ y $b\geq0$ .

En la expresión $\sqrt[n]{a}$ , se tiene que $n$ es el índice de la raíz, $a$ es el radicando o subradical y $\sqrt[n]{\hspace{0.5cm}}$ es el signo de radical.

Simplificación de raíces n-ésimas

En los siguientes ejemplos se utiliza la definición de radicales para simplificar las expresiones dadas.

Ejemplo:

$\sqrt[4]{16}=2$

Esto es porque $2^{4}=16$ .

Ejemplo:

$\sqrt[3]{-27}=3$

Ya que $\left(-3\right)^{3}=-27$ .

Ejemplo:

$\sqrt[2]{-1}$ no es un número real, ningún número real elevado al cuadrado es igual a -1. De la definición de radicales se tiene que si $n$ es un número par, se necesita que $a\geq0$ y $b\geq0$ .

Ejemplo:

$-\sqrt[2]{25}=-5$ .

Menos 1 multiplica a la raíz cuadrada de 25:

$-\sqrt[2]{25}=-1\times\sqrt[2]{25}$

Luego, la raíz cuadrada de 25 es igual a 5:

$-\sqrt[2]{25}=-1\times 5$

Finalmente, menos 1 por 5 es igual a -5:

$-\sqrt[2]{25}=-5$

Definición de exponentes racionales

Sean $m$ y $n$ dos números enteros y $n>1$ , luego, se tiene que:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Además:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$

En caso de que $n$ sea par, se requiere que $a\geq0$ .

La definición anterior implica que el denominador de un exponente racional se puede escribir como el índice de un radical y, además, que el orden en que se calculen la raíz y la potencia no afecta el resultado, siempre que el radicando sea mayor o igual a cero cuando el índice de la raíz sea par.

Simplificación de exponentes racionales

En los siguientes ejemplos se utiliza la definición de exponentes racionales para simplificar las expresiones dadas.

Ejemplo:

$9^{\frac{1}{2}}=3$

Porque 9 elevado a la un medio es igual a la raíz cuadrada de 9:

$9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}$

Luego, la raíz cuadrada de 9 es igual a 3:

$9^{\frac{1}{2}}=3$

Ejemplo:

$\left(-8\right)^{\frac{2}{3}}=4$

Porque según la definición de exponentes racionales, se tiene que:

$\left(-8\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{\left(-8\right)^{2}}$

El cuadrado de -8 es igual a 64:

$\left(-8\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{64}$

La raíz cúbica de 64 es igual a 4:

$\left(-8\right)^{\frac{2}{3}}=4$

Alternativamente y, según la definición de exponentes racionales, se tiene que:

$\left(-8\right)^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{-8}\right)^{2}$

La raíz cúbica de -8 es igual a -2:

$\left(-8\right)^{\frac{2}{3}}=\left(-2\right)^{2}$

Y -2 eleva al cuadrado es igual a 4:

$\left(-8\right)^{\frac{2}{3}}=4$

Ejemplo:

$\left(-1\right)^{\frac{1}{4}}$ no es un número real, ningún número real elevado a la cuarta potencia es igual a -1. Según la definición de exponentes racionales se requiere que $a\geq0$ cuando el índice de la raíz es par.

Propiedades de los radicales

Las siguientes propiedades son verdaderas cuando los radicales dados sean números reales. Sean a y b números reales y n un número entero mayor de 1, es decir, $a, b\in\mathbb R$ y $n>1$ .

Propiedad del índice par

Si el índice n de una raíz es par, entonces:

$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$

Ejemplo:

$\sqrt[2]{x^{2}}=|x|$

Ejemplo:

$\sqrt[2]{x^{4}}=|x^{2}|=x^{2}$

Propiedad del índice impar

Si el índice n de una raíz es impar, entonces:

$\sqrt[n]{a^{n}}=a$

Ejemplo:

$\sqrt[3]{y^{3}}=y$

Ejemplo:

$\sqrt[5]{\left(x+y+1\right)^{5}}=x+y+1$

Propiedad del producto

$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

Ejemplo:

$\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{5xy}$

Propiedad del cociente

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Ejemplo:

$\sqrt[4]{x}\cdot\sqrt[4]{y}=\sqrt[4]{\frac{x}{y}}$

Propiedad del radical anidado

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

Ejemplo:

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{xy}}=\sqrt[mn]{xy}$

Simplificación de radicales utilizando la propiedad del producto

Ejemplo:

$\sqrt[3]{x^{4}}$

Se aplica la propiedad del producto de varias potencias de una misma base:

$\sqrt[3]{x^{4}}=\sqrt[3]{x^{3}\cdot x}$

Se aplica la propiedad del producto:

$\sqrt[3]{x^{4}}=\sqrt[3]{x^{3}}\cdot \sqrt[3]{x}$

Se simplifica:

$\sqrt[3]{x^{4}}=x\sqrt[3]{x}$

Simplificación de radicales utilizando la propiedad del cociente

Ejemplo:

$\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{8}}$

Se aplica la propiedad del cociente:

$\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{8}}=\frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{\sqrt[3]{8}}$

La raíz cúbica de 8 es igual a 2 y en el numerador se aplica la propiedad del producto de varias potencias de una misma base:

$\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{8}}=\frac{\sqrt[3]{x^{3}\cdot x}}{2}$

Se aplica la propiedad del producto de radicales en el numerador:

$\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{8}}=\frac{\sqrt[3]{x^{3}}\cdot\sqrt[3]{x}}{2}$

Se simplifica:

$\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{8}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{2}$

Radicales semejantes

Son radicales semejantes aquellos cuyos radicandos e índices son iguales, por ejemplo, los siguientes son radicales semejantes:

$7\sqrt[3]{5}$ y $-9\sqrt[3]{5}$

$2\sqrt[4]{7}$ y $3\sqrt[4]{7}$

Pero, $7\sqrt[3]{5}$ y $-9\sqrt[4]{5}$ no son radicales semejantes, su índice es diferente y, tampoco lo son $7\sqrt[3]{x}$ y $-9\sqrt[3]{y}$ , ya que el radicando es diferente.