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Propiedad conmutativa suma de matrices – Definición y ejemplo

La conmutatividad o propiedad conmutativa para la suma de matrices establece que el resultado de la suma o adición de dos matrices no cambia al alterar el orden de las matrices.

La definición de esta propiedad es la siguiente:

Sean las matrices A y B de orden mxn, entonces, se tiene que:

A+B=B+A

Es decir, para los elementos de las matrices A y B tenemos que:

a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Considerando la definición dada pordemos escribir:

\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \ldots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \ldots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \ldots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_{11}+a_{11} & b_{12}+a_{12} & \ldots & b_{1n}+a_{1n} \\ b_{21}+a_{21} & b_{22}+a_{22} & \ldots & b_{2n}+a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ b_{m1}+a_{m1} & b_{m2}+a_{m2} & \ldots & b_{mn}+a_{mn} \end{bmatrix}

Es necesario que las matrices A y B sean del mismo orden, o sea, que sean conformables para la suma.

Ejemplo 1:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 12 & 1\\ -1 & 5\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & 6\end{bmatrix}

Entonces, tenemos que:

A+B=B+A

\begin{bmatrix} 12 & 1\\ -1 & 5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & 6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 12 & 1\\ -1 & 5\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 12+2 & 1+(-1)\\ -1+3 & 5+6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+12 & -1+1\\ 3+(-1) & 6+5\end{bmatrix}

Realizamos las operaciones en ambos lados de la igualdad y tenemos que:

\begin{bmatrix} 14 & 0\\ 2 & 11\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 14 & 0\\ 2 & 11\end{bmatrix}

Se verifica que las matrices A y B cumplen la propiedad conmutativa para la suma.

Ejemplo 2:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 5 & \frac{1}{2} & 0\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -4 & \frac{1}{2} & 8\end{bmatrix}

Luego, tenemos que:

A+B=B+A

\begin{bmatrix} 5 & \frac{1}{2} & 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -4 & \frac{1}{2} & 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & \frac{1}{2} & 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 5 & \frac{1}{2} & 0\end{bmatrix}

Sumamos elemento a elemento en ambos lados de la igualdad:

\begin{bmatrix} 5+(-4) & \frac{1}{2}+\frac{1}{2} & 0+8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4+5 & \frac{1}{2}+\frac{1}{2} & 8+0\end{bmatrix}

Realizamos las operaciones en ambos lados de la igualdad:

\begin{bmatrix} 1 & 1& 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 8\end{bmatrix}

Por lo tanto, se verifica que las matrices del ejemplo cumplen la propiedad conmutativa para la suma.

Ejemplo 3:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 15 & -2 & 4\\ 11 & 8 & 10\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -5 & 8 & -14\\ 17 & x & 2\end{bmatrix}

Tenemos que:

A+B=B+A

\begin{bmatrix} 15 & -2 & 4\\ 11 & 8 & 10\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -5 & 8 & -14\\ 17 & x & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 & 8 & -14\\ 17 & x & 2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 15 & -2 & 4\\ 11 & 8 & 10\end{bmatrix}

Sumamos los elementos correspondientes en ambos lados de la igualdad:

\begin{bmatrix} 15+(-5) & -2+8 & 4+(-14)\\ 11+17 & 8+x & 10+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5+15 & 8+(-2) & -14+4\\ 17+11 & x+8 & 2+10\end{bmatrix}

Al realizar las operaciones tenemos:

\begin{bmatrix} 10 & 6 & -10\\ 28 & 8+x & 12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10 & 6 & -10\\ 28 & x+8 & 12\end{bmatrix}

Hemos verificado que las matrices A y B cumplen la propiedad conmutativa para la suma de matrices.

Ejemplo 4:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 5+i & -2-3i\\ -4i & 6+2i\\ 4-2i & 1+i\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -2+2i & 4-i\\ 5-4i & 3+i\\ 10-12i & 11+8i\end{bmatrix}

Para verificar que las matrices A y B cumplen la propiedad conmutativa para la suma de matrices establecemos que:

A+B=B+A

\begin{bmatrix} 5+i & -2-3i\\ -4i & 6+2i\\ 4-2i & 1+i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2+2i & 4-i\\ 5-4i & 3+i\\ 10-12i & 11+8i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2+2i & 4-i\\ 5-4i & 3+i\\ 10-12i & 11+8i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 5+i & -2-3i\\ -4i & 6+2i\\ 4-2i & 1+i\end{bmatrix}

Sumamos los elementos correspondientes y realizamos las operaciones en ambos lados de la igualdad:

\begin{bmatrix} 5+i+(-2+2i) & -2-3i+(4-i)\\ -4i+(5-4i) & 6+2i+(3+i)\\ 4-2i+(10-12i) & 1+i+(11+8i)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2+2i+(5+i) & 4-i+(-2-3i)\\ 5-4i+(-4i) & 3+i+(6+2i)\\ 10-12i+(4-2i) & 11+8i+(1+i)\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 3+3i & 2-4i\\ 5-8i & 9+3i\\ 14-14i & 12+9i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3+3i & 2-4i\\ 5-8i & 9+3i\\ 14-14i & 12+9i\end{bmatrix}

Se ha verificado que las matrices A y B cumplen la propiedad conmutativa para la suma de matrices.

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Cómo citar

García, Sergio. (04 febrero 2020). Propiedad conmutativa suma de matrices – Definición y ejemplo. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.