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Propiedad asociativa suma de matrices – Definición y ejemplo

La asociatividad o propiedad asociativa establece que el resultado de la adición o suma de dos matrices no varía al sustituir sumandos por su suma. Esta propiedad se define de la siguiente manera:

A+(B+C)=(A+B)+C

donde A, B y C son marices mxn.

Ejemplo:

Sean las matrices:

A=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 4 & 1\\ 6 & 3\end{bmatrix}

C=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -7 & 2\end{bmatrix}

La asociatividad establece que:

A+(B+C)=(A+B)+C

Sustituimos y tenemos que:

\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4\end{bmatrix}+\left(\begin{bmatrix} 4 & 1\\ 6 & 3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -7 & 2\end{bmatrix}\right)=\left(\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 1\\ 6 & 3\end{bmatrix}\right)+\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -7 & 2\end{bmatrix}

Primero, realizamos las sumas indicadas entre paréntesis:

\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4\end{bmatrix}+\left(\begin{bmatrix} 4+0 & 1+(-1)\\ 6+(-7) & 3+2\end{bmatrix}\right)=\left(\begin{bmatrix} 2+4 & 0+1\\ -1+6 & 4+3\end{bmatrix}\right)+\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -7 & 2\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 0\\ -1 & 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 & 1\\ 5 & 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -7 & 2\end{bmatrix}

Finalmente, realizamos la última suma en cada lado de la igualdad:

\begin{bmatrix} 2+4 & 0+0\\ -1+(-1) & 4+5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6+0 & 1+(-1)\\ 5+(-7) & 7+2\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 6 & 0\\ -2 & 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 & 0\\ -2 & 9\end{bmatrix}

Por lo tanto, se cumple que:

A+(B+C)=(A+B)+C

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Cómo citar

García, Sergio. (28 enero 2020). Propiedad asociativa suma de matrices – Definición y ejemplo. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.