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¿Qué son la probabilidad condicional, conjunta y marginal?
Sea P(A) la probabilidad de ocurrencia del evento A, si ocurre un evento B relacionado con el evento A, parece lógico aprovechar la nueva información y calcular la nueva probabilidad del evento A, la cual se conoce como probabilidad condicional P(A|B), la notación se lee “la probabilidad de A dado B”.
En el último año, una universidad admitió a 186 aspirantes provenientes de una escuela privada y a 59 provenientes de una escuela pública. En total, se presentaron 1000 aspirantes, de los cuales 766 habían estudiado en una escuela privada y 234 en una escuela pública. ¿Tienen los aspirantes de una escuela pública menos oportunidades de ingresar a la universidad? A primera vista, es posible que algunas personas piensen que sí, son 186 admisiones de escuelas privadas contra 59 de escuelas públicas.
Una probabilidad conjunta es la probabilidad de la intersección de dos eventos. Por ejemplo, la probabilidad de que un estudiante sea admitido (A) y haya estudiado en una escuela privada (V) se calcula dividiendo el número de admisiones provenientes de una escuela privada entre el total de aspirantes:
Ahora, la probabilidad de que un estudiante no sea admitido (Ac) y haya estudiado en una escuela privada (V) se calcula dividiendo el número de no admisiones provenientes de una escuela privada entre el total de aspirantes:
Análogamente, la probabilidad de que un estudiante sea admitido (A) y haya estudiado en una escuela pública (B) se calcula dividiendo el número de admisiones provenientes de una escuela pública entre el total de aspirantes:
Finalmente, la probabilidad de que un estudiante no sea admitido (Ac) y haya estudiado en una escuela pública (B) se calcula dividiendo el número de no admisiones provenientes de una escuela pública entre el total de aspirantes:
La siguiente es una tabla de probabilidades conjuntas:
Las probabilidades marginales son aquellas que aparecen al margen de una tabla de probabilidades conjuntas. Así, la probabilidad de que un aspirante haya estudiado en una universidad privada se calcula dividiendo el número de aspirantes de una escuela privada entre el total de aspirantes:
Luego, la probabilidad de que un aspirante haya estudiado en una universidad pública se calcula dividiendo el número de aspirantes de una escuela pública entre el total de aspirantes:
La probabilidad de que un aspirante sea admitido se calcula dividiendo el número de admisiones entre el total de aspirantes:
La probabilidad de que un aspirante no sea admitido se calcula dividiendo el número de no admisiones entre el total de aspirantes:
Debemos notar que las probabilidades marginales se obtienen el sumar las probabilidades conjuntas de la correspondiente columna o renglón.
En la tabla de probabilidades conjuntas, se observa que el 76.6% de los aspirantes estudiaron en una escuela privada, el 23.4% en una escuela pública. Además, 24.5% de los aspirantes fueron admitidos y el 75.5% no fueron admitidos. Pero ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante sea admitido dado que proviene de una escuela privada? Se sabe que 186 de los estudiantes admitidos provienen de escuela privada, la probabilidad de ser admitido dado que se estudió en escuela privada es 0.243:
Es importante notar que, si dividimos, tanto numerador como denominador, entre el total de aspirantes se tiene:
El numerador es la probabilidad de que un estudiante sea admitido y haya estudiado en una escuela privada, mientras que el denominador es la probabilidad de que un aspirante seleccionado aleatoriamente haya estudiado en una universidad privada, entonces la probabilidad condicional se puede calcular como:
Generalizando la probabilidad condicional se puede calcular como:
Ya que el evento B ha ocurrido, la única manera en que ocurra A es que se presente un punto muestral definido por la intersección de A y B. La probabilidad condicional es la probabilidad de que se observe el evento A dado que ha ocurrido el evento B.
Retomando el ejemplo de las admisiones a una universidad, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante sea admitido dado que proviene de una escuela pública?
La probabilidad de que un estudiante sea admitido dado que proviene de una escuela pública (0.252) es mayor que la calculada cuando un estudiante egresa de una escuela privada (0.243). Un estudiante egresado de una escuela pública tiene una probabilidad ligeramente mayor de entrar a la universidad.
Eventos independientes
Consideremos que se analizan las admisiones de otra universidad y se obtiene la siguiente tabla de probabilidades conjuntas:
La probabilidad de ser admitido es igual a 0.355 y la probabilidad de ser admitido dado que se egresó de una escuela privada es 0.379 (0.264/0.697), como las probabilidades son diferentes, los eventos A y V son dependientes.
De manera similar, los eventos A y B son dependientes, ya que:
Egresar de una escuela privada o pública influye en las admisiones de la universidad analizada. En cambio, si la probabilidad de ser admitido no cambia dado el evento V o el evento B, entonces los eventos son independientes, lo que implica que la probabilidad marginal de ser admitido (P(A)), es igual a la probabilidad condicional (P(A|V)), de tal manera que, generalizando, dos eventos A y B son independientes si:
Ley de la multiplicación
La ley de la multiplicación sirve para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos, despejando de la fórmula para la probabilidad condicional se tiene:
El 60% de los empleados que reciben capacitación son ascendidos, pero sólo el 50% de los empleados reciben capacitación, ¿cuál es la probabilidad de que un empleado sea ascendido y reciba capacitación?
Sea P(C) la probabilidad de recibir capacitación y P(A|C) la probabilidad de ser ascendido dado que se ha recibido capacitación.
La probabilidad de que un empleado sea ascendido y reciba capacitación es igual a 0.3.
Ya se ha establecido que si los eventos son independientes la probabilidad marginal de A es igual a la probabilidad de A dado B:
Esta última fórmula es la ley de la multiplicación para eventos independientes. La intersección de dos eventos independientes se calcula multiplicando las probabilidades marginales de los eventos.
De tal manera que dos eventos son independientes si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades marginales, de otro modo los eventos son dependientes. Además, si dos eventos son independientes, la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Consideremos la probabilidad de que un vendedor cierre una venta, P(V)=0.8, y la probabilidad de que el cliente pague con tarjeta, P(T)=0.65. ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor cierre una venta y el cliente pague con tarjeta?
