Multiplicar una matriz por un escalar - Definición y ejemplos

Para multiplicar una matriz A por un número que llamamos escalar debemos multiplicar cada uno de los elementos de la matriz A por el escalar.

La definición de la multiplicación de una matriz por un escalar es la siguiente:

Sean la matriz A de orden mxn y el escalar $\rho$ , entonces, el producto

$\rho A$

es una matriz C cuyos elementos se definen como:

$c_{ij}=\rho a_{ij}$

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

A partir de la definición podemos escribir:

$C=\rho A=\begin{bmatrix} \rho a_{11} & \rho a_{12} & \ldots & \rho a_{1n} \\ \rho a_{21} & \rho a_{22} & \ldots & \rho a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ \rho a_{m1} & \rho a_{m2} & \ldots & \rho a_{mn} \end{bmatrix}$

Así, el elemento en el primer renglón y primera columna de la matriz C se calcula como:

$c_{11}=\rho a_{11}$

Para calcular los otros elementos de la matriz C se sigue el mismo proceso, por ejemplo:

$c_{12}=\rho a_{12}$

$c_{1n}=\rho a_{1n}$

$c_{21}=\rho a_{21}$

$\vdots$

$c_{mn}=\rho a_{mn}$

Ejemplo 1:

Sean:

$\rho=2$

$A=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ -3 & 5\end{bmatrix}$

Entonces, el producto entre el escalar y la matriz resulta:

$\rho A=\begin{bmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 4\\ 2\cdot (-3) & 2\cdot 5\end{bmatrix}$

$\rho A=\begin{bmatrix} 2 & 8\\ -6 & 10\end{bmatrix}$

Ejemplo 2:

Sean:

$\rho=-1$

$A=\begin{bmatrix} 8 & 5 & -2\end{bmatrix}$

El producto $\rho A$ se calcula como sigue:

$\rho A=\begin{bmatrix} -1(8) & -1(5) & -1(-2)\end{bmatrix}$

$\rho A=\begin{bmatrix} -8 & -5 & 2\end{bmatrix}$

Este ejemplo muestra que se respetan las reglas de los signos al multiplicar los elementos de la matriz A por un escalar.

Ejemplo 3:

Sean:

$\rho=\frac{1}{3}$

$A=\begin{bmatrix} 9x & 12 & -6y\\ 12 & -3 & 0\\ -15 & 1 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$

Entonces, el producto entre el escalar y la matriz A se calcula como sigue:

$\rho A=\begin{bmatrix} \frac{1}{3}\cdot9x & \frac{1}{3}\cdot12 & \frac{1}{3}\cdot(-6y)\\ \frac{1}{3}\cdot12 & \frac{1}{3}\cdot(-3) & \frac{1}{3}\cdot0\\ \frac{1}{3}\cdot(-15) & \frac{1}{3}\cdot1 & \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\end{bmatrix}$