Una matriz simétrica es una matriz cuadrada de nxn en la que sus elementos son simétricos respecto a su diagonal principal. Esto quiere decir que el elemento en el renglón i y columna j es igual al elemento en el renglón j y columna i.
La definición es la siguiente:
Sea la matriz A de orden nxn tal que se cumple que:
![[a_{ij}]=[a_{ji}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ba_%7Bij%7D%5D%3D%5Ba_%7Bji%7D%5D&bg=ffffff&fg=000&s=1&c=20201002)
para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.
Lo que también podemos escribir como:
Por ejemplo, la definición anterior implica que para una matriz A de orden 2 se tiene que:
Es fácil ver que los elementos de la diagonal principal son iguales a sí mismos. Una manera sencilla para comprobar que una matriz A es simétrica es determinar su matriz transpuesta, la matriz A será simétrica si es igual a su matriz transpuesta:
Ejemplo 1:
Sea la matriz A:
La matriz es simétrica porque cumple la igualdad:
Además, su matriz transpuesta es:
Ejemplo 2:
Sea la matriz A:
La matriz A es simétrica porque se cumplen las igualdades:
Además, su matriz transpuesta es:
Ejemplo 3:
Sea la matriz A:
La matriz A es simétrica dado que es igual a su matriz transpuesta:
Ejemplo 4:
Sea la matriz I:
La matriz idendidad de orden 3 es simétrica dado que su transpuesta es:
En general, una matriz identidad de orden n es simétrica dado que todos los elementos que no pertenecen a su diagonal principal son nulos, por lo tanto, son simétricos respecto a la diagonal principal.
Ejemplo 5:
Sea la matriz A:
La matriz A es simétrica porque es igual a su transpuesta:
