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Leyes de los exponentes, cuáles son, explicación y ejemplos

La notación exponencial es una notación compacta que indica una multiplicación repetitiva. Las leyes de los exponentes, también conocidas como propiedades de los exponentes, son útiles en las matemáticas, la física y la química, principalmente, para simplificar expresiones matemáticas. En este artículo, se describe qué es la notación exponencial y las leyes de los exponentes.

Índice

Qué es la notación exponencial: base y exponente

La notación exponencial se utiliza para representar un número o cantidad como una base elevada a un exponente, alternativamente, se puede decir que la notación exponencial permite representar un número como una base elevada a una potencia.

El exponente indica el número de veces que la base aparece como factor en una multiplicación. Por ejemplo, en la expresión 3^{2}, 3 es la base y 2 es el exponente, y se lee como «3 elevado al cuadrado» o «3 elevado a la segunda potencia». Y significa que 3 aparece tres veces como factor en una multiplicación.

3^{2}=3\cdot3=9

Leyes de los exponentes o propiedades de los exponentes

A continuación, se describen las leyes de los exponentes que nos permiten simplificar expresiones matemáticas. Para la correcta aplicación de estas propiedades es muy importante tener en cuenta que cero elevado a la cero y la división entre cero no están definidos.

Producto de varias potencias de una misma base

Cuando se multiplican varias potencias de la misma base, se suman los exponentes. Sean x un número real y, m y n número enteros, entonces:

x^{m}\cdot x^{n}= x^{m + n}

Ejemplo:

2^{2}\cdot 2^{3}=2^{2+3}=2^{5}

Ejemplo:

h^{2}\cdot h^{3}\cdot h^{4}=h^{2+3+4}=h^{9}

Potencia de una potencia

Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes. Sean x un número real y, m y n número enteros, entonces:

\left(x^{m}\right)^{n}=x^{mn}

Ejemplo:

\left(2^{3}\right)^{2}=2^{3\cdot2}=2^{6}

Ejemplo:

\left(w^{3}\right)^{4}=w^{3\cdot4}=w^{12}

Potencia de un producto

Cuando se eleva un producto a un exponente, se eleva cada factor del producto a ese exponente. Sean x y y números reales y, m y n número enteros, entonces:

\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}

Ejemplo:

\left(2\cdot4\right)^{2}=2^{2}\cdot4^{2}

Ejemplo:

\left(xyz\right)^{3}=x^{3}y^{3}z^{3}

Potencia de una fracción o cociente

Cuando se eleva una fracción a un exponente, se eleva tanto el numerador como el denominador a ese exponente. Sean x y y números reales y, m y n número enteros. Además, y es diferente de cero, entonces:

\left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}

Ejemplo:

\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3^2}{4^2}

Ejemplo:

\left(\frac{a}{b}\right)^5=\frac{a^5}{b^5}

Cociente de dos potencias de una misma base

Se restan los exponentes cuando se divide una potencia por otra potencia de la misma base. Sean x un número real y, m y n número enteros, entonces:

Caso I: m>n

\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}

Caso II: n>m y x diferente de cero

\frac{x^{m}}{x^{n}}=\frac{1}{x^{n-m}}

Ejemplo:

\frac{3^{4}}{3^{2}}=3^{4-2}=3^{2}

Ejemplo:

\frac{k^{2}}{k^{5}}=\frac{1}{x^{5-2}}=\frac{1}{x^{3}}

Simplificación de expresiones con exponente igual a cero

Cualquier número elevado a la cero es igual a 1. Sea x un número real y diferente de cero, entonces:

x^{0}=1

Ejemplo:

9^{0}=1

Ejemplo:

\left(ab\right)^{0}=1

Simplificación de expresiones con exponente negativo

Cualquier número elevado a un exponente negativo es igual a su recíproco elevado al mismo exponente, pero positivo. Sea x un número real y diferente de cero, entonces:

x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}

Ejemplo:

4^{-2}=\frac{1}{4^{2}}

Ejemplo:

y^{-3}=\frac{1}{y^{3}}

Simplificación de expresiones que contienen exponentes

Ejemplo:

La base del exponente es x, y no 5x. Cualquier número elevado a la cero es igual a 1. Luego, el producto de 5 y 1 es 5.

5x^{0}=5\cdot x^{0}=5\cdot\left(1\right)=5

Ejemplo:

El exponente -3 afecta solamente a su base que es x. Luego, se recuerda que cualquier número elevado a una potencia negativa es igual a su recíproco elevado a la misma potencia, pero positiva.

7x^{-3}y^{2}=\frac{7y^{2}}{x^{3}}

Ejemplo:

Se divide 21 entre 7, luego aplicamos la propiedad del cociente de dos potencias de una misma base.

\left(\frac{21x^{3}y^{5}}{7x^{2}y^{9}}\right)^{-3}=\left(\frac{3x}{y^{4}}\right)^{-3}

Se escribe el exponente positivo.

\left(\frac{21x^{3}y^{5}}{7x^{2}y^{9}}\right)^{-3}=\left(\frac{y^{4}}{3x}\right)^{3}

Se aplica la propiedad de la potencia de una potencia.

\left(\frac{21x^{3}y^{5}}{7x^{2}y^{9}}\right)^{-3}=\frac{y^{4\cdot3}}{3^{3}x^{3}}

Finalmente, se tiene:

\left(\frac{21x^{3}y^{5}}{7x^{2}y^{9}}\right)^{-3}=\frac{y^{12}}{27x^{3}}

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Cómo citar

García, Sergio. (08 octubre 2023). Leyes de los exponentes, cuáles son, explicación y ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 17 noviembre 2023.

Sobre al autor:

Sergio García es ingeniero industrial, maestro en planeación y doctor en ingeniería. Ha trabajado en logística, como consultor y profesor universitario.