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Definición y ecuación de hipérbola con centro en el origen

Se define una hipérbola como lugar geométrico, se proporciona la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con un eje coordenado, por último, se resuelve un ejemplo en el que dadas las coordenadas de los focos y vértices hay que determinar la ecuación de la hipérbola.

Índice

Definición

Una hipérbola se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de cada uno de ellos a los focos F1 y F2 es igual a una constante. Si P es un punto cualquiera de la hipérbola y k una constante, la definición se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

\mid\overline{F_{1}P}-\overline{PF_{2}}\mid=k

Los focos F1 y F2 de la hipérbola se encuentran sobre el eje focal L. Los vértices V1 y V2 de la hipérbola también se encuentran sobre el eje focal, además, se localizan en el punto en que la hipérbola interseca el eje focal. El punto C define el centro de la hipérbola y equidista de los focos y de los vértices. El eje normal L’ es perpendicular al eje focal y lo corta en C.

El segmento del eje focal cuyos extremos son los vértices se conoce como eje transverso, su longitud es igual a 2a, luego a se conoce como semieje transverso. De manera similar, el segmento del eje normal cuyos extremos son los puntos B1 y B2 se conoce como eje conjugado, su longitud es igual a 2b, por lo que b corresponde a la longitud del semieje conjugado.

Las rectas A1 y A2 son las asíntotas de la hipérbola. La distancia focal c es la que existe entre el centro de la hipérbola y cualquiera de los focos, se determina de la siguiente manera:

c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

La siguiente imagen ilustra lo explicado en los párrafos anteriores:

Lado recto

La longitud del lado recto de la hipérbola corresponde a la del segmento definido por los puntos M y N, además, contiene a uno de los focos. Para calcular el lado recto se tiene:

LR=\frac{2b^{2}}{a}

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con un eje coordenado

Se presentan dos casos en los que una hipérbola tiene centro en el origen, ya que su eje focal puede ser coincidente con el eje X o con el eje Y.

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje X

La ecuación de la hipérbola con centro C en el origen y eje focal coincidente con el eje X es la siguiente:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Las coordenadas del centro, focos y vértices son las siguientes: C(0,0), F1(-c,0), F2(c,0), V1(-a,0) y V2(a,0).

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje Y

La ecuación de la hipérbola con centro C en el origen y eje focal coincidente con el eje Y es la siguiente:

\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1

Las coordenadas del centro, focos y vértices son las siguientes: C(0,0), F1(0,-c), F2(0,c), V1(0,-a) y V2(0,a).

Ejemplo

Las coordenadas de los focos y vértices de una hipérbola son los siguientes: F1(-5,0), F2(5,0), V1(-4,0) y V2(4,0). Determinar la ecuación de la hipérbola, la longitud de los ejes transverso, conjugado, el lado recto, y la distancia focal.

Solución:

Es claro que el punto medio entre los focos tiene las coordenadas (0,0), entonces, se trata de una hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje X, en consecuencia, su ecuación es de la forma:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Dadas las coordenadas de los focos se sabe que la distancia focal c es igual a 5 (c=5), debe recordarse que la distancia focal es la que existe entre cualquiera de los focos y el centro de la hipérbola.

La longitud del eje transverso es igual a 2a y las coordenadas de los vértices, en general, son V1(-a,0) y V2(a,0). En el ejemplo se tiene que V1(-4,0) y V2(4,0), entonces, a es igual a 4, por lo tanto, 2a es igual a 8 (2a=2×4=8).

La longitud del eje conjugado es igual a 2b, para determinar b se despeja de la fórmula de la distancia focal:

c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

Se despeja b:

b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}

Se sabe que c=5 y a=4:

b=\sqrt{5^{2}-4^{2}}

b=\sqrt{25-16}

b=\sqrt{9}

b=3

Entones, la longitud del eje conjugado es igual a 6 (2b=2×3=6).

Si a=4 y b=3, se escribe la ecuación de la hipérbola de la siguiente manera:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1

\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1

Por último, se calcula el lado recto:

LR=\frac{2b^{2}}{a}

LR=\frac{2\cdot3^{2}}{4}

LR=\frac{2\cdot9}{4}

LR=\frac{18}{4}

LR=\frac{9}{2}

Definición hipérbolas conjugadas

Las hipérbolas conjugadas son aquellas que comparten las mismas asíntotas. Sea la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje X:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Luego, la ecuación de la hipérbola conjugada es:

\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1

Además, las hipérbolas conjugadas se caracterizan porque el eje transverso de una es idéntico al eje conjugado de la otra.

En la siguiente imagen la hipérbola en rojo es la conjugada de la hipérbola en azul y, viceversa.

Ejemplo hipérbolas conjugadas

Proporcionar la ecuación de la hipérbola conjugada de la hipérbola cuya ecuación es:

\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1

Solución:

\frac{y^{2}}{64}-\frac{x^{2}}{36}=1

Además, la distancia focal en ambas hipérbolas se calcula como:

c=\sqrt{64+36}

c=\sqrt{100}

c=10

Entonces, las coordenadas de los focos de la hipérbola que corresponde a la ecuación que se proporciona son F1(-10,0) y F2(10,0). Los focos de la hipérbola conjugada son F1(0,-10) y F2(0,10).

Temas relacionados con la elipse (geometría analítica):

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Cómo citar

García, Sergio. (15 enero 2024). Definición y ecuación de hipérbola con centro en el origen. Celeberrima.com. Última actualización el 15 enero 2024.