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¿Qué es un evento?
Un evento es una colección de puntos muestrales y su probabilidad se calcula como la suma de las probabilidades de los puntos muestrales que lo forman. Se lanza un dado y A denota el evento de que caiga un número par, entonces los puntos muestrales son 2, 4 y 6. El evento A ocurre cuando el resultado es cualquiera de los puntos muestrales. Como ya se estableció la probabilidad de ocurrencia del evento A se calcula como la suma de las probabilidades de los puntos muestrales:
Complemento de un evento
El complemento de un evento E es un evento formado por todos los puntos muestrales que no están en E, se denota como Ec, lo que implica que la probabilidad de ocurrencia del evento E más la probabilidad de ocurrencia de su complemento es igual a 1, y la probabilidad del evento E se puede calcular restando la probabilidad de su complemento de 1:
Si un experto dice que la probabilidad de que llueva mañana es igual a 0.7, entonces la probabilidad de que no llueva es igual a 0.3 (1-0.7=0.3). Si la probabilidad de recibir un producto defectuoso es igual a 0.1, entonces la probabilidad de recibir un producto en buen estado es 0.9 (1-0.1=0.9).
Unión de dos eventos
La unión de dos eventos representa todas las situaciones en las que por lo menos uno de los eventos ocurre. En otras palabras, la unión de los eventos A y B representa el conjunto de todos los puntos muestrales que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota como:
En la siguiente imagen, todos los puntos muestrales de A y de B están contenidos en sus respectivos círculos, el área en la que se sobreponen indica existen puntos contenidos en A y en B al mismo tiempo.
La intersección de dos eventos
La intersección de dos eventos es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen tanto a A como a B. Se denota como:
En la imagen anterior, el área donde los círculos se sobreponen contiene los puntos que están tanto en A como en B.
Ley de la adición
Con la ley de la adición, es posible calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, es decir, la probabilidad de ocurrencia del evento A o del evento B o de ambos. Se calcula sumando la probabilidad de ocurrencia del evento A con la probabilidad de ocurrencia del evento B, luego se resta la intersección de los eventos A y B.
Se encuesta a 100 personas, 50 prefieren el futbol (evento A), 30 el baloncesto (evento B) y 20 ambos (intersección de A y B). La probabilidad de que alguien prefiera el futbol es 0.5, la probabilidad de que alguien prefiera el baloncesto es 0.3 y la probabilidad de que alguien prefiera ambos deportes es 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que alguien prefiera el futbol o el baloncesto?
Es importante notar que se resta la intersección de A y B, ya que estos puntos muestrales se encuentran tanto en A como en B, de este modo se evita contarlos dos veces.
Consideremos una empresa en la que el 60% de los empleados que renuncian lo hacen por el salario (P(A)), el 30% renuncian por el ambiente (P(B)) y el 10% por el salario y por el ambiente.
Aplicando la ley de la adición se tiene que:
La probabilidad de que alguien renuncie por el salario o por el ambiente es 0.8.
Para los siguientes ejemplos, consideramos la baraja inglesa que consta de 52 cartas en total divididas en 4 palos —espadas, corazones, tréboles y rombos—, cada palo tiene 13 cartas, las primeras 10 cartas de cada palo son numeradas y las últimas 3 cartas están marcadas con una letra: J, Q y K, respectivamente. Dos palos son negros —espadas y tréboles— y dos palos son rojos —corazones y rombos—.
La probabilidad de sacar una carta marcada con un 2 (4 cartas) o una carta roja (26 cartas) de una baraja inglesa (52 cartas).
Este resultado también lo podemos obtener contando las cartas resaltadas en amarillo de la siguiente imagen, hay 28 cartas marcadas en amarillo y 52 cartas en la baraja, la probabilidad es 28/52, reduciendo la fracción se tiene 7/13.
¿Cuál es la probabilidad de tomar una carta marcada con una letra o una carta negra de una baraja inglesa?
Hay 32 cartas marcadas en amarillo y 52 cartas en la baraja, la probabilidad es 32/52, reduciendo la fracción se tiene que la probabilidad es 8/13.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta marcada con un 5 o una carta del palo de tréboles de una baraja inglesa?
Hay 16 cartas marcadas en amarillo y 52 cartas en la baraja. La probabilidad es 16/52, al reducir la fracción tenemos 4/13.
La probabilidad de dos eventos A y B que pueden ocurrir en la misma prueba es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de ocurrencia de ambos.
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen puntos muestrales en común, dicho de otro modo, cuando uno y sólo uno de ellos ocurre en una prueba cualquiera. Si ocurre el evento A, el evento B no puede ocurrir, y viceversa. Esto implica que los eventos A y B no tienen puntos muestrales en común, en consecuencia, la intersección no tiene ningún punto muestral. La ley de la adición de eventos mutuamente excluyentes establece que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades:
Cuando lanzamos una moneda al aire esperamos que caiga al suelo para observar si cae cara o cruz. Sin embargo, solo es posible un resultado en cada lanzamiento, nunca ambos, los resultados, cara o cruz, no ocurren de manera simultánea. En este caso, la ocurrencia de un evento excluye la ocurrencia de otro evento:
- Cayó cara, no cayó cruz.
- Cayó cruz, no cayó cara.
Imaginemos que sacamos una carta de la baraja, los siguientes son eventos mutuamente excluyentes:
- Sacar una espada y un corazón, las cartas son de espadas o de corazones, pero no ambos.
- Sacar una carta numerada y una letra, las cartas están marcadas con números o letras, pero no ambos.
- Sacar una carta roja y negra, las cartas son rojas o negras, pero no ambos.
- Sacar un 3♦ y un J♠, se saca un 3♦ o se se saca un J♠, pero no ambos.
Si se lanza un dado y se desea conocer la probabilidad de obtener un dos o un cinco P(2 o 5), se tiene que hay 6 resultados posibles, sólo uno de ellos es un 2 y sólo uno de ellos es un 5, entonces la probabilidad de obtener un 2 es 1/6 y la de obtener un 5 es 1/6, al sumar ambas probabilidades se tiene que P(2 o 5)=1/3.
Se procede de manera similar si se desea calcular la probabilidad de obtener un número par después de lanzar el dado. Se suma la probabilidad de obtener un 2 (P(2)=1/6), la probabilidad de obtener un 4 (P(4)=1/6), y la probabilidad de obtener un 6 (P(6)=1/6), lo que resulta en 1/2.
Análogamente, se calcula la probabilidad de tomar una carta de espadas o una carta de corazones de una baraja inglesa. Hay 52 resultados posibles (52 cartas en total), 13 son cartas de espadas y 13 son cartas de corazones, entonces, la probabilidad es 1/2 (26/52).
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta de tréboles o una carta roja? Hay 13 cartas de tréboles y 26 cartas rojas (13+26=39) y 52 resultados posibles, entonces la probabilidad buscada es igual a 3/4 (39/52).
La probabilidad de sacar una carta de espadas marcada con un número (10 resultados) o una carta de corazones marcada con una letra (3 resultados) de una baraja inglesa (52 resultados) es igual a 1/4 (13/52).
