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Concepto de estimación puntual
Los administradores de una universidad han tomado una muestra aleatoria simple de tamaño n=24 de una población de 2,000 estudiantes universitarios. Las estimaciones de interés son el promedio de horas de estudio por semana y la proporción de estudiantes que estudian y trabajan. Dado que no se cuenta con el presupuesto y tiempo para consultar a los 2,000 estudiantes, se estiman la media poblacional μ y la desviación estándar σ de las horas de estudio semanales mediante un estadístico muestral, es decir, con los datos de la muestra de 24 estudiantes.
Con los datos de la siguiente tabla, se calculan la media muestral x̄ y la desviación estándar muestral s.
Donde, xi representa las horas de estudio semanales del estudiante i.
La estimación de la proporción de estudiantes que estudian y trabajan se determina con la proporción muestral, la cual se calcula dividiendo el número de estudiantes que estudian y trabajan entre el tamaño de la muestra:
Estos cálculos son estimadores puntuales, la media muestral es el estimador puntual de la media poblacional, la desviación estándar muestral es el estimador puntual de la desviación estándar poblacional y la proporción muestral es el estimador puntual de la proporción poblacional p. Así, 14.75 horas semanales de estudio es una estimación puntual de μ, 4.53 es una estimación puntual de σ y 0.71 es una estimación puntual de p.
No es extraño que las estimaciones puntuales difieran ligeramente de los parámetros poblacionales, la razón es que para realizar la estimación se usan a los datos de una muestra.
Propiedades de los estimadores puntuales
Un estimador puntual debe ser insesgado, eficiente y consistente.
Insesgadez
Un estadístico muestral “theta sombrero” es un estimador insesgado del parámetro poblacional θ cuando su valor esperado es igual al parámetro poblacional.
La siguiente imagen muestra un estimador puntual insesgado, donde la media de la distribución muestral es igual al parámetro poblacional.
La siguiente imagen ilustra el caso en el que la media de la distribución muestral es menor que el parámetro poblacional, el estadístico muestral subestima el parámetro poblacional.
En contraste, la siguiente imagen ilustra el caso en el que la media de la distribución muestral es mayor que el parámetro poblacional, el estadístico muestral sobreestima el parámetro poblacional.
Eficiencia
Un estimador puntual tienen mayor eficiencia relativa cuando su error estándar es menor que el de otros estimadores puntuales. El estimador puntual con mayor eficiencia relativa proporcionará estimaciones más cercanas al parámetro poblacional.
Consistencia
Un estimador puntual es consistente si tiende a estar más cerca del parámetro poblacional conforme la muestra aumenta, lo que significa que entre más grande sea la muestra, mejor estimación puntual. Esto se explica porque el error estándar de la media muestral se calcula como un cociente, cuyo denominador es la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, a medida que aumenta el tamaño de la muestra lo hace el denominador, y el error estándar disminuye.
