Elipse, geometría analítica, ecuación, definición, ejemplos

Se define la elipse como lugar geométrico, se proporciona la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con un eje coordenado, la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a un eje coordenado, la ecuación general de la elipse y ejemplos.

Índice

Definición de elipse
Lado recto de la elipse
Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con un eje coordenado
Ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a un eje coordenado
Ecuación general de la elipse
Ejemplos

Definición de elipse

Una elipse es el lugar geométrico del conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Esta definición es crucial para entender las propiedades y aplicaciones de la elipse.

La recta L, llamada eje focal, contiene a los dos focos F₁ y F₂ de la elipse; los vértices V₁ y V₂ se encuentran en la intersección de la elipse y su eje focal.

Las coordenadas del centro C de la elipse corresponden al punto medio entre los focos. El eje transversal es la recta L’ que es perpendicular al eje focal y pasa por C.

El segmento de recta entre los vértices se conoce como eje mayor, su longitud es igual a 2a, luego a se conoce como semieje mayor.

El segmento entre B₁ y B₂ se conoce como eje menor, su longitud es igual a 2b, y b se conoce como semieje menor.

La distancia focal c es la que existe entre el centro de la elipse y cualquiera de sus dos focos y se calcula con la siguiente expresión:

$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

Lado recto de la elipse

La longitud del lado recto de la elipse es igual a la longitud del segmento MN.

La longitud del lado recto de una elipse es la longitud de una cuerda perpendicular al eje focal y que pasa por un foco de la elipse. Esta longitud se calcula como:

$LR=\frac{2b^{2}}{a}$

Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con un eje coordenado

Existen dos casos, el primero de ellos es cuando el eje focal de la elipse coincide con el eje coordenado X; el segundo caso se presenta cuando el eje focal de la elipse coincide con el eje coordenado Y.

Considerando el primer caso, se tiene que la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje coordenado X es la siguiente:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Las coordenadas de los focos y vértices son F₁(-c,0), F₂(c,0) y V₁(-a,0) y V₂(a,0), respectivamente.

La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje coordenado Y es la siguiente:

$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$

Las coordenadas de los focos y vértices son F₁(0,-c,), F₂(0,c) y V₁(0,-a) y V₂(0,a), respectivamente.

Para cualquiera de las dos ecuaciones de la elipse se tiene que a>b.

Ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a un eje coordenado

También se presentan dos casos, el primero de ellos es cuando el eje focal de la elipse es paralelo al eje coordenado X; el segundo sucede cuando el eje focal de la elipse es paralelo al eje coordenado Y.

Entonces, la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje coordenado X es la siguiente:

$\frac{\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}=1$

Las coordenadas del centro de la elipse son C(h,k) con h y k diferentes de cero. Las coordenadas de los focos y vértices son F₁(h-c,k), F₂(h+c,k) y V₁(h-a,k) y V₂(h+a,k), respectivamente.

Por último, la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje coordenado Y es la siguiente:

$\frac{\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}=1$

Las coordenadas del centro de la elipse son C(h,k) con h y k diferentes de cero. Las coordenadas de los focos y vértices son F₁(h,k-c), F₂(h,k+c) y V₁(h,k-a) y V₂(h,k+a), respectivamente.

Para cualquiera de las dos ecuaciones de la elipse se tiene que a>b.

Ecuación general de la elipse

La ecuación general de la elipse tiene la siguiente forma:

$Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0$

Y representa una elipse si N>0, la expresión para calcular N es:

$BC^{2}+AD^{2}-4ABE=0$

La ecuación representa una elipse con eje focal paralelo o coincidente con el eje X cuando A y B son diferentes de cero, A es menor de B, A y B tienen el mismo signo y N>0.
La ecuación representa una elipse con eje focal paralelo o coincidente con el eje Y cuando A y B son diferentes de cero, A es mayor de B, A y B tienen el mismo signo y N>0.
La ecuación representa un punto cuando N=0.
La ecuación no representa ningún lugar geométrico cuando N<0.

Ejemplos

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, la longitud de su semieje mayor es igual a 6 y uno de sus focos tiene las coordenadas (0,4).

Solución:

Dado que el centro de la elipse se encuentra en el origen y las coordenadas de uno de los focos son (0,4), se tiene que la distancia focal c es igual a 4. Además, dadas estas coordenadas, C(0,0) y F(0,4), se sabe que el eje focal es coincidente con el eje Y.

Se conocen los valores de a y de c, entonces, se puede calcular el valor de b, es decir, del semieje menor:

$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

Al despejar b se tiene que:

$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$

Se sustituyen a y c por sus respectivos valores:

$b=\sqrt{6^{2}-4^{2}}$

$b=\sqrt{36-16}$

$b=\sqrt{20}$

$b=\sqrt{4\cdot5}$

$b=\sqrt{4}\sqrt{5}$

$b=2\sqrt{5}$

Luego, la ecuación ordinaria de la elipse en cuestión tiene la siguiente forma:

$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$

$\frac{x^{2}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{6^{2}}=1$

$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{36}=1$

Las coordenadas de los focos y vértices están dadas como F₁(0,-c,), F₂(0,c) y V₁(0,-a) y V₂(0,a), entonces, se tiene que F₁(0,-4), F₂(0,4) y V₁(0,-6) y V₂(0,6).

Finalmente, la longitud del lado recto se calcula como sigue:

$LR=\frac{2b^{2}}{a}$

$LR=\frac{2\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}{6}$

$LR=\frac{2\left(4\cdot5\right)}{6}$

$LR=\frac{2\left(20\right)}{6}$

$LR=\frac{40}{6}$

$LR=\frac{20}{3}$

Ejemplo:

Proporcionar la ecuación de la elipse con centro C(-2,3) foco F(0,3) y longitud del del semieje menor igual a 4.

Solución:

La ordenada del centro de la elipse y uno de sus focos es la misma, entonces, la distancia focal c se determina considerando la distancia entre las abscisas, c=2. Se sabe que:

$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

Entonces, se despeja a:

$a=\sqrt{c^{2}+b^{2}}$

Se sustituyen c y b con sus respectivos valores, b representa la longitud del semieje menor que es dato del problema:

$a=\sqrt{2^{2}+4^{2}}$

$a=\sqrt{4+16}$

$a=\sqrt{20}$

$a=\sqrt{4\cdot5}$

$a=\sqrt{4}\sqrt{5}$

$a=2\sqrt{5}$

La elipse tiene centro en h y k, y su eje focal es paralelo al eje coordenado X, es así porque que la ordenada del centro y del foco es la misma, entonces, su ecuación tiene la forma:

$\frac{\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}=1$

Se sustituyen h, k, a y b con sus respectivos valores para obtener la ecuación ordinaria de la elipse:

$\frac{\left(x+2\right)^{2}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{\left(y-3\right)^{2}}{4^{2}}=1$

$\frac{\left(x+2\right)^{2}}{20}+\frac{\left(y-3\right)^{2}}{16}=1$

Dadas las condiciones del problema, las coordenadas de los focos son F₁(h-c,k) y F₂(h+c,k) entonces, F₁(-4,3) y F₂(0,3).

Ejemplo:

Dada la ecuación de la elipse $4x^{2}+9y^{2}=36$ , hallar su ecuación ordinaria, las coordenadas de focos y vértices, la longitud del lado recto, la longitud del semieje mayor y del semieje menor.

Solución:

Dada la ecuación $4x^{2}+9y^{2}=36$ se sabe que la elipse tiene centro en el origen, luego, se dividen ambos miembros entre 36 para tener la ecuación ordinaria de la elipse:

$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Los denominadores en el lado izquierdo de la igualdad se expresan como un cuadrado:

$\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$

La longitud del semieje mayor es 3 (a=3), la longitud del semieje menor es 2 (b=2), además, se sabe que el eje focal es coincidente con el eje X.

Para calcular la distancia focal c se tiene que:

$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

$c=\sqrt{3^{2}-2^{2}}$

$c=\sqrt{9-4}$

$c=\sqrt{5}$

Las coordenadas de los focos y vértices son F₁(-c,0), F₂(c,0) y V₁(-a,0) y V₂(a,0) y dado que c es igual a la raíz de 5 y a es igual a 3, se tiene que:

$F_{1}\left(-\sqrt{5},0\right)$

$F_{2}\left(\sqrt{5},0\right)$

$V_{1}\left(-3,0\right)$

$V_{2}\left(3,0\right)$

Por último, se calcula la longitud del lado recto:

$LR=\frac{2b^{2}}{a}$

$LR=\frac{2\left(2\right)^{2}}{3}$

$LR=\frac{2\cdot4}{3}$

$LR=\frac{8}{3}$

Ejemplo:

Determinar las longitudes del semieje mayor y semieje menor, la distancia focal, la longitud del lado recto, las coordenadas del centro de la elipse, de los focos y de los vértices. La ecuación ordinaria de la elipse en cuestión es la siguiente:

$\frac{\left(x-3\right)^{2}}{25}+\frac{\left(y+1\right)^{2}}{9}=1$

Solución:

La ecuación de la elipse se escribe como sigue:

$\frac{\left(x-3\right)^{2}}{5^{2}}+\frac{\left(y+1\right)^{2}}{3^{2}}=1$

Entonces, las coordenadas del centro C son (3,-1), además, las longitudes de los semiejes mayor y menor son 5 y 3 respectivamente, (a=5, b=3). Luego, la distancia focal se calcula como:

$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

$c=\sqrt{25-9}$

$c=\sqrt{16}$

$c=4$

Las coordenadas de los focos y vértices son F₁(h-c,k), F₂(h+c,k) y V₁(h-a,k) y V₂(h+a,k), entonces, F₁(-1,-1), F₂(7,-1) y V₁(-2,-1) y V₂(8,-1).

Para calcular la longitud del lado recto se utiliza la expresión:

$LR=\frac{2b^{2}}{a}$

$LR=\frac{2\left(3\right)^{2}}{5}$

$LR=\frac{2\cdot9}{5}$

$LR=\frac{18}{5}$

Temas relacionados con la línea recta(geometría analítica):

Temas relacionados con la parábola (geometría analítica):

Elipse, geometría analítica, ecuación, definición, ejemplos

Índice

Definición de elipse

Lado recto de la elipse

Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con un eje coordenado

Ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a un eje coordenado

Ecuación general de la elipse

Ejemplos

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