La unión del conjunto de los números enteros positivos y el conjunto de los números enteros negativos da como resultado el conjunto de los números enteros:
{…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,… }
La utilidad del conjunto de los números enteros radica en la capacidad de representar ganancias o pérdidas, alturas por encima o por debajo de una referencia, temperaturas superiores o inferiores a una temperatura de referencia, etc.
- Cuando se realiza una apuesta se puede representar una ganancia de 100 unidades monetarias con +100 o una perdida de 80 unidades monetarias con -80.
- La posición sobre el nivel del mar se puede representar con +150 metros o una posición por debajo del nivel del mar se puede representar con -76 metros.
- Los niveles de temperatura se pueden representar por +21ºC o por -10ºC. Estos ejemplos muestran la necesidad de utilizar los signos + y – para indicar una posición.
- El cambio en las unidades vendidas de un cierto producto respecto al mes anterior se puede representar con +300 unidades o -200 unidades.
Estos ejemplos muestran la necesidad y utilidad de representar las cantidades con los signos + y –.
Los números enteros positivos se representan a la derecha del origen de la recta numérica y los números enteros se representan a la izquierda del origen. Dos puntos a y -a son equidistantes de el origen y se localizan a lados opuestos del mismo. Los números aumentan de valor hacia la derecha y disminuyen hacia la izquierda.
Ejemplos:
- -10<0
- -5<-2
- 0>-2
- 0<3
- 7<11
- 15>-20
Suma de números enteros
- La suma de dos números enteros cualesquiera es otro número entero:
- -5+7=2
- -61+30=-31
- 45-120=-75
- La suma de dos números enteros positivos es otro número entero positivo:
- 5+7=12
- 61+30=91
- 45+120=165
- La suma de dos números enteros negativos es otro número entero negativo:
- -5+(-7)=-12
- -61+(-30)=-91
- -45+(-120)=-165
También, se sabe que si a y b son dos números enteros cualesquiera se cumple que:
- (-a)+(-b)=-(a+b)
- (-2)+(-6)=-(2+6)=-8
- (-4)+(-8)=-(4+8)=-12
- (-7)+(-9)=-(7+9)=-16
- (-11)+(-17)=-(11+17)=-28
- (-15)+(-12)=-(15+12)=-27
- (-43)+(-36)=-(43+36)=-79
- (-74)+(-68)=-(74+68)=-142
- (-56)+(-89)=-(56+89)=-145
- (-256)+(-514)=-(256+514)=-770
- (-319)+(-790)=-(319+790)=-1109
- a+(-b)=(-b)+a
- 2+(-6)=(-6)+2=-4
- 4+(-8)=(-8)+4=-4
- 7+(-9)=(-9)+7=-2
- 11+(-17)=(-17)+11=-6
- 15+(-12)=(-12)+15=3
- 43+(-36)=(-36)+43=7
- 74+(-68)=(-68)+74=6
- 56+(-89)=(-89)+56=-33
- 256+(-514)=(-514)+256=-258
- 319+(-790)=(-790)+319=-471
Resta de números enteros
Cuando la suma de dos números cualesquiera a y -a resulta cero, se dice que los números son inversos aditivos.
Ejemplos:
- 3-3=0
- 8-8=0
- 18-18=0
- 11-11=0
- 81-81=0
- 46-46=0
Esto implica que ambos números a y -a son equidistantes y se encuentran a la misma distancia del origen, a hacia la derecha y -a hacia la izquierda.
Para cada número a entero positivo existe un número único -a tal que:
a-a=0
Siendo a y -a inversos aditivos, al número -a se le llama negativo del número a.
Si a y b son números enteros se tiene que:
a-b=a+(-b)
Esto quiere decir que restar b de a es igual que sumar el inverso aditivo de b al número a.
Ejemplos:
- 2-6=2+(-6)=-4
- 8-3=8+(-3)=5
- 15-5=15+(-5)=10
- 35-7=35+(-7)=28
- 46-20=46+(-20)=26
Si a es mayor que b (a>b) se tiene que el resultado de la resta será un número entero positivo (a-b>0):
Ejemplos:
- 10-5=5
- 18-4=14
- 255-95=150
Si a es igual a b (a=b) se tiene que el resultado de la resta será cero (a-b=0):
Ejemplos:
- 10-10=0
- 18-18=0
- 255-255=0
Si a es menor que b (a<b) se tiene que el resultado de la resta será un número entero negativo (a-b<0):
Ejemplos:
- 5-10=-5
- 4-18=-14
- 95-255=-150
También, se cumple que si a y b son dos número enteros cualesquiera y a es diferente de b (a≠b), entonces, a-b≠b-a
Ejemplos:
- 9-4=5 y 4-9=-5, entonces 5≠-5
- 45-21=24 y 21-45=-24, entonces 24≠-24
- 151-45=106 y 45-154=-106, entonces 106≠-106
Otra propiedad que se cumple es que +(-a)=-a
Ejemplos:
- +(-8)=-8
- +(-50)=-50
- +(-146)=-146
También, se puede escribir que:
a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a
Ejemplos:
- 2-6=2+(-6)=(-6)+2=-4
- 4-8=4+(-8)=(-8)+4=-4
- 7-9=7+(-9)=(-9)+7=-2
- 11-17=11+(-17)=(-17)+11=-6
- 15-12=15+(-12)=(-12)+15=3
- 43-36=43+(-36)=(-36)+43=7
- 74-68=74+(-68)=(-68)+74=6
- 56-89=56+(-89)=(-89)+56=-33
- 256-514=256+(-514)=(-514)+256=-258
- 319-790=319+(-790)=(-790)+319=-471
Y también se cumple que:
-a-b=(-a)+(-b)=-(a+b)
Ejemplos:
- -2-6=(-2)+(-6)=-(2+6)=-8
- -4-8=(-4)+(-8)=-(4+8)=-12
- -7-9=(-7)+(-9)=-(7+9)=-16
- -11-17=(-11)+(-17)=-(11+17)=-28
- -15-12=(-15)+(-12)=-(15+12)=-27
- -43-36=(-43)+(-36)=-(43+36)=-79
- -74-68=(-74)+(-68)=-(74+68)=-142
- -56-89=(-56)+(-89)=-(56+89)=-145
- -256-514=(-256)+(-514)=-(256+514)=-770
- -319-790=(-319)+(-790)=-(319+790)=-1109
Multiplicación de números enteros
Para dos números enteros cualesquiera a y b, se tiene que:
El producto de dos números enteros positivos da como resultado un número entero positivo:
(a)(b)=(ab)=ab
Ejemplos:
- (3)(8)=24
- (5)(4)=20
- (7)(3)=21
El producto de dos números enteros negativos da como resultado un número entero positivo:
(-a)(-b)=(ab)=ab
Ejemplos:
- (-3)(-8)=24
- (-5)(-4)=20
- (-7)(-3)=21
El producto de dos números enteros de diferente signo da como resultado un número entero negativo:
a(-b)=-(ab)=-ab
-a(b)=-(ab)=-ab
Ejemplos:
- 3(-8)=-24
- 5(-4)=-20
- 7(-3)=-21
- -5(2)=-10
- -9(4)=-36
- -11(3)=-33
La multiplicación de un número entero cualquiera y cero es cero (a·0=0).
Ejemplos:
- 5·0=0
- 16·0=0
- 49·0=0
División de números enteros
Si se consideran tres números enteros a, b y c, con b≠0 y a=bc, entonces:
a÷b=c
Y se les conoce como:
a como dividendo
b como divisor y
c como cociente.
Es decir que si consideramos la multiplicación (4)(8)=32, entonces:
32÷4=8
Y:
32 es el dividendo
4 es el divisor y
8 es el cociente.
La división de dos números enteros positivos da como resultado otro número positivo que no siempre resulta pertenecer al conjunto de los números enteros:
Ejemplos:
- 15÷3=5 (5 es un número entero y positivo)
- 21÷3=7 (7 es un número entero y positivo)
- 32÷4=8 (8 es un número entero y positivo)
- 55÷5=11 (11 es un número entero y positivo)
- 52÷4=13 (13 es un número entero y positivo)
- 15÷4=3.75 (3.75 NO es un número entero pero es positivo)
- 220÷100=2.2 (2.2 NO es un número entero pero es positivo)
La división de dos números enteros negativos da como resultado un número positivo que no siempre resulta pertenecer al conjunto de los números enteros:
Ejemplos:
- (-15) ÷ (-3)=5 (5 es un número entero y positivo)
- (-21) ÷ (-3)=7 (7 es un número entero y positivo)
- (-32) ÷ (-4)=8 (8 es un número entero y positivo)
- (-55) ÷ (-5)=11 (11 es un número entero y positivo)
- (-52) ÷ (-4)=13 (13 es un número entero y positivo)
- (-15) ÷ (-4)=3.75 (3.75 NO es un número entero pero es positivo)
- (-220) ÷ (-100)=2.2 (2.2 NO es un número entero pero es positivo)
La división entre números enteros de diferente signo da como resultado un número negativo que puede ser entero o no serlo:
Ejemplos:
- (-15)÷3=-5 (-5 es un número entero y negativo)
- 21÷(-3)=-7 (-7 es un número entero y negativo)
- (-32)÷4=-8 (-8 es un número entero y negativo)
- 55÷(-5)=-11 (-11 es un número entero y negativo)
- (-52)÷4=-13 (-13 es un número entero y negativo)
- 15÷(-4)=-3.75 (-3.75 NO es un número entero pero es negativo)
- (-220)÷100=-2.2 (-2.2 NO es un número entero pero es negativo)
Dado que la división se define a partir de la multiplicación y, la multiplicación de un número entero cualquiera por cero da como resultado cero, se tiene que:
- 0÷7=0, ya que se busca un número entero a tal que 7·a=0, y este número entero a es igual a 0.
- 7÷0 no está definido, ya que se busca un número entero a tal que 0·a=7, y ese número no existe.
- 0÷0 es un número indeterminado, ya que se busca un número entero a tal que 0·a=0, y ese número puede ser cualquier número ya que: 0·2=0, 0·15=0, 0·456=0,… En este caso a no es número único.