Ejemplos propiedades de modelos de programación lineal

Todos los modelos de programación lineal deben reunir ciertas propiedades: poseen una función objetivo, consideran factores limitativos conocidos como restricciones, es posible elegir entre cursos de acción alternativos y, finalmente, todas las expresiones matemáticas en el modelo son lineales.

Propiedad 1. Función objetivo

Las empresas buscan maximizar sus utilidades o minimizar sus costos, la función objetivo es imprescindible en una formulación de programación lineal dado que permite establecer el objetivo deseado.

Ejemplos:

Maximizar la utilidad
Maximizar el ingreso
Maximizar las ventas
Maximizar la eficiencia
Maximizar la ganancia
Maximizar las unidades producidas
Minimizar los costos de embarque
Minimizar los costos de inventario
Minimizar los costos de producción

Por ejemplo, para escribir la función objetivo de un productor que desea maximizar la utilidad que le proporcionan sillones de descanso (Sn) y sillas ejecutivas (Sa) consideremos el siguiente enunciado:

Cada sillón de descanso le proporciona una utilidad de 14 400 pesos, mientras que una silla ejecutiva aporta 18 000 pesos a la utilidad.

Se trata de un modelo de maximización, escribimos la función objetivo como:

$Max~U=14~000Sn+18~000Sa$

Si se trata de un modelo de minimización indicamos la función objetivo como sigue:

$Min~C=aX_1+bX_2$

La función objetivo anterior indica que se busca minimizar la función C (costo) dadas dos variables de decisión $X_1~y~X_2$ asociadas a dos coeficientes a y b, respectivamente.

El coeficiente de una variable de decisión indica la cantidad en que cambia el costo dado un cambio —incremento o decremento— unitario en la variable de decisión. Si $X_1$ se incrementa (decrementa) en 1, entonces, el costo se incrementa (decrementa) en $a\cdot1$ unidades.

Propiedad 2. Restricciones

Para que un modelo de programación lineal sea realista debe estar acotado, es decir, debe considerar los factores limitantes del problema que se conocen como restricciones. Las restricciones se relacionan con los recursos con que se cuentan para lograr el objetivo deseado.

Ejemplos:

Restricciones de materias primas disponibles en el mercado
Restricciones de espacio en almacén
Restricciones de horas hombre
Restricciones de personal especializado
Restricciones de presupuesto
Restricciones de demanda
Restricciones de maquinaria

Por ejemplo, regresemos al problema del productor de sillones de descanso y sillas ejecutivas:

Hay tres departamentos involucrados en la producción de estos productos: corte, ensamble y acabado. Cada uno de los departamentos tiene una disponibilidad de 1 080 horas hombre a la semana.

Los sillones de descanso requieren de 7.2, 8.08 y 6 horas hombre en los departamentos de corte, ensamble y acabado, respectivamente. Las sillas ejecutivas requieren de 9, 6.8 y 9.75 horas hombre en los departamentos de corte, ensamble y acabado, respectivamente.

Entonces, se tienen tres restricciones asociadas a la mano de obra expresada en horas hombre semanales:

Restricción departamento de corte:

$7.2Sn+9Sa\leq1~080$

Restricción departamento de ensamble:

$8.08Sn+6.8Sa\leq1~080$

Restricción departamento de acabado:

$6Sn+9.75Sa\leq1~080$

Sin estas restricciones la función objetivo podría crecer indefinidamente y el productor del ejemplo podría obtener una utilidad ilimitada, sobra decir que esto no es realista.

Hay un tipo especial de restricciones que siempre acompañan a los modelo de programación lineal, se trata de las condiciones de no negatividad:

$Sn,~Sa\geq0$

El número de sillones de descanso y de sillas ejecutivas debe ser positivo.

Propiedad 3. Cursos de acción alternativos

Un modelo de programación lineal puede dotar de flexibilidad a una empresa que busca la mejor manera de asignar sus recursos escasos. Regresemos al ejemplo del producto de sillones y sillas, ¿qué pasa si el productor evalúa las siguientes dos alternativas de producción:

Primera alternativa: Sn=100 y Sa=40
Segunda alternativa: Sn=50 y Sa=80

Sustituyendo ambas en la función objetivo tenemos un mismo nivel de utilidad:

$Max~U=14~000Sn+18~000Sa$

$Max~U=14~000(100)+18~000(40)=2~160~000$

$Max~U=14~000(50)+18~000(80)=2~160~000$

Este resultado significa que el productor tiene que elegir entre dos caminos de acción distintos, pero que conducen a la misma utilidad.

Del mismo modo, se comprueba que las restricciones se satisfacen:

Restricciones departamento de corte:

$7.2Sn+9Sa\leq1~080$

$7.2(100)+9(40)\leq1~080$

$1~080\leq1~080$

$7.2(50)+9(80)\leq1~080$

$1~080\leq1~080$

Los resultados anteriores nos dicen que el departamento de corte ocupa el máximo de horas hombre disponibles indistintamente de la alternativa elegida.

Restricciones departamento de ensamble:

$8.08Sn+6.8Sa\leq1~080$

$8.08(100)+6.8(40)\leq1~080$

$1~080\leq1~080$

$8.08Sn+6.8Sa\leq1~080$

$8.08(50)+6.8(80)\leq1~080$

$948\leq1~080$

En el caso de la restricción del departamento de ensamble tenemos que la primera alternativa requiere del total de horas hombre semanales disponibles.

Pero en el caso de la segunda alternativa solo se necesitan 948 horas hombre, sobran 132 horas hombre en dicho departamento.

Restricción departamento de acabado:

$6Sn+9.75Sa\leq1~080$

$6(100)+9.75(40)\leq1~080$

$990\leq1~080$

$6Sn+9.75Sa\leq1~080$

$6(50)+9.75(80)Sa\leq1~080$

$1~080\leq1~080$

En el caso del departamento de acabado la primera alternativa solamente necesita de 990 horas hombre de las 1 080 disponibles, pero la segunda alternativa requiere del total de horas hombre disponibles.

En conclusión, el productor dispone de dos alternativas de producción que reportan la misma utilidad: 2 160 000 pesos.

Propiedad 4. La función objetivo y las restricciones son lineales

Los modelos de programación lineal se deben expresar en términos lineales, admiten ecuaciones y desigualdades, pero siempre lineales, no está demás subrayarlo. Todos los términos de la función objetivo y restricciones son de primer grado.

Si retomamos el ejemplo del productor de sillones de descanso y sillas ejecutivas tenemos la siguiente formulación:

$Max~U=14~400Sn+18~000Sa$