Ejemplos fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado

La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado permite encontrar sus raíces, es decir, los valores que satisfacen la ecuación. Las ecuaciones en las que el mayor exponente de una incógnita es 2 son ecuaciones de segundo grado y solo tienen dos raíces.

Las siguientes son ejemplos de ecuaciones de segundo grado:

x² + x – 2 = 0
x² + x – 6 = 0
x² + x – 12 = 0
x² + x – 20 = 0
-x² + x + 2 = 0
-3x² + x + 2 = 0
-6x² + x + 2 = 0
-10x² + x + 2 = 0
-2x² + 2x + 4 = 0
-10x² + 3x + 4 = 0

Así, una ecuación de segundo grado tiene la siguiente forma:

ax² + bx + c = 0

La fórmula para resolver estas ecuaciones es la siguiente:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Se le conoce como fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado o fórmula cuadrática. Es importante observar que la condición para aplicar la fórmula es que a debe ser diferente de cero.

Explicación paso a paso:

Resolver la ecuación x² + 3x + 2 = 0

Solución:

Se observa que a=1, b=3 y c=2, estos valores se sustituyen en la fórmula y se tiene:

$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4(1)(2)}}{2(1)}$

Realizando las operaciones tenemos:

$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}$

$x=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{2}$

Finalmente, las raíces se denotan como x₁ y x₂:

$x_1=\frac{-3+1}{2}=-1$

$x_2=\frac{-3-1}{2}=-2$

Las raíces se pueden sustituir en la ecuación y se cumplirá la igualdad, primero probamos con x₁ = -1:

$x^2+3x+2=0$

$-1^2+3(-1)+2=0$

$1-3+2=0$

$0=0$

Ahora, vamos a verificar el resultado con la segunda raíz, x₂ = -2:

$x^2+3x+2=0$

$-2^2+3(-2)+2=0$

$4-6+2=0$

$0=0$

Otra manera de verificar es establecer un producto con la incógnita y las raíces x₁ = -1 y x₂ = -2:

$(x+x_1)(x+x_2)=0$

Sustituyendo los valores de las raíces se tiene:

$(x+1)(x+2)=0$

Desarrollando el producto se tiene:

$x^2+2x+x+2=0$

Al reducir términos semejantes se obtiene la ecuación de segundo grado inicial:

$x^2+3x+2=0$

Ejemplo 1:

Resolver 15x²+15x+8=20x²+16X-2

Solución:

Lo primero que tenemos que hacer es reducir términos semejantes:

$(20-15)x^{2}+(16-15)x+(-2-8)=0$

$5x^{2}+1x-10=0$

Ahora, solo tenemos que sustituir en la fórmula:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(5)(-10)}}{2(5)}$

Realizando las operaciones tenemos:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+200}}{5}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{201}}{5}$

Finalmente, las raíces se denotan como x₁ y x₂:

$x_1=\frac{-1+14.1771}{5}=2.635$

$x_2=\frac{-1-14.177}{5}=-3.035$

Ejemplo 2:

Resolver x² + x – 2 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 1, b = 1 y c = -2

Sustituimos en la fórmula y realizamos las operaciones:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}$

$x=\frac{-1\pm3}{2}$

Las raíces son:

$x_1=\frac{-1+3}{2}=1$

$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$

Ejemplo 3:

Resolver x² + x – 12 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 1, b = 1 y c = -12

Sustituimos en la fórmula y realizamos las operaciones:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(1)(-12)}}{2(1)}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2}$

$x=\frac{-1\pm7}{2}$

$x_1=\frac{-1+7}{2}=3$

$x_2=\frac{-1-7}{2}=-4$

Ejemplo 4:

Resolver x² + x – 6 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 1, b = 1 y c = -6

Sustituimos en la fórmula y realizamos las operaciones:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(1)(-6)}}{2(1)}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}$

$x=\frac{-1\pm5}{2}$

$x_1=\frac{-1+5}{2}=2$

$x_2=\frac{-1-5}{2}=-3$

Ejemplo 5:

Resolver -3x² + x + 2 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = -3, b = 1 y c = 2

Sustituimos en la fórmula y realizamos las operaciones:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(-3)(2)}}{2(-3)}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{-6}$

$x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{-6}$

$x=\frac{-1\pm5}{-6}$

$x_1=\frac{-1+5}{-6}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}=-0.6666$

$x_2=\frac{-1-5}{-6}=1$

Ejemplo 6:

Resolver -10x² + 3x + 4 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = -10, b = 3 y c = 4

Sustituimos en la fórmula y realizamos las operaciones:

$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4(-10)(4)}}{2(-10)}$

$x=\frac{-3\pm\sqrt{9+160}}{-20}$

$x=\frac{-3\pm\sqrt{169}}{-20}$

$x=\frac{-3\pm13}{-20}$

$x_1=\frac{-3+13}{-20}=-\frac{10}{20}=-\frac{1}{2}=-0.5$

$x_2=\frac{-3-13}{-20}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}=0.8$

Ejemplo 7:

Resolver 2x² + 9x + 4 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 2, b = 9 y c = 4

Sustituimos en la fórmula y realizamos las operaciones:

$x=\frac{-9\pm\sqrt{9^{2}-4(2)(4)}}{2(2)}$

$x=\frac{-9\pm\sqrt{81-32}}{4}$

$x=\frac{-9\pm\sqrt{49}}{4}$

$x=\frac{-9\pm7}{4}$

$x_1=\frac{-9+7}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}=-0.5$

$x_2=\frac{-9-7}{4}=-\frac{16}{4}=-4$

Ejemplo 8:

Resolver 4x² – 9x + 2 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 4, b = -9 y c = 2

Sustituimos en la fórmula y realizamos las operaciones:

$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^{2}-4(4)(2)}}{2(4)}$

$x=\frac{9\pm\sqrt{81-32}}{8}$

$x=\frac{9\pm\sqrt{49}}{8}$

$x=\frac{9\pm7}{8}$

$x_1=\frac{9+7}{8}=\frac{16}{8}=2$

$x_2=\frac{9-7}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0.25$

Ejemplo 9:

Resolver 2x² + 2x = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 2, b = 2 y c = 0

Sustituimos en la fórmula y realizamos las operaciones:

$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4(2)(0)}}{2(2)}$

$x=\frac{-2\pm\sqrt{4-0}}{4}$

$x=\frac{-2\pm\sqrt{4}}{4}$

$x=\frac{-2\pm2}{4}$

$x_1=\frac{-2+2}{4}=0$

$x_2=\frac{-2-2}{4}=-1$

Este ejemplo muestra que la fórmula se puede aplicar aunque el coeficiente del término independiente c sea cero. La siguiente es una manera más sencilla de resolverlo:

$2x^2+2x=0$