Existen cuatro casos especiales de la programación lineal: los conflictos entre las restricciones pueden provocar que no exista solución para el problema, la región de soluciones factibles no está acotada, una o más restricciones no afectan la región de soluciones factibles y, finalmente, pueden existir soluciones óptimas múltiples o alternativas para el problema.
Caso 1. Infactibilidad
Este caso se presenta cuando las restricciones presentan conflictos entre ellas, por ejemplo, vamos a considerar el siguiente grupo de tres restricciones:
Al graficar tenemos dos regiones de soluciones factibles, el conflicto ocurre porque una de ellas satisface las primeras dos restricciones, pero no satisface la tercera restricción; y la segunda región de soluciones factibles satisface la tercera restricción, pero no satisface las primeras dos restricciones.
Es imposible satisfacer las tres restricciones a la vez, por lo tanto, el problema no tiene solución.
En este ejemplo no se proporcionó función objetivo ya que, cualquiera que sea, el problema no tienen solución.
Caso 2. No acotamiento
Otro caso ocurre cuando el planteamiento de un problema es tal que la utilidad o beneficio de un problema de maximización puede crecer indefinidamente. Por ejemplo, vamos a considerar el siguiente modelo lineal:
Sujeto a:
Graficando tenemos que la región de soluciones factible crece indefinidamente hacia la derecha, no existe ninguna restricción que la acote, por lo tanto, la variable de decisión X1 puede crecer indefinidamente provocando el mismo efecto en la función objetivo.
Es muy poco realista pensar en una utilidad que crece indefinidamente, ninguna empresa podría producir un número infinito de unidades, tampoco es posible vender un número infinito de unidades. La capacidad de producción está acotada por los recursos y las ventas por la demanda. En este caso la región de soluciones factibles es abierta.
Este caso se presenta en un problema de minimización cuando el costo puede reducirse indefinidamente, aunque la condición de no negatividad se anticipa a este inconveniente sigue siendo poco realista considerar que del desarrollo de cualquier actividad se relacione con un nivel de costo igual a cero.
Caso 3. Redundancia
Una restricción redundante no afecta la región de soluciones factibles. Al considerar un grupo de restricciones podemos encontrar que alguna de ellas resulta más limitativa que otra, por ejemplo, vamos a considerar el siguiente grupo de restricciones:
Graficamos y observamos que las primeras dos restricciones son más limitativas que la tercera restricción, esta última resulta redundante y no afecta la región de soluciones factibles.
Incluso es posible eliminar la restricción redundante y resolver el problema ya que no es necesaria dado que existen restricciones más exigentes o limitativas.
Caso 4. Soluciones óptimas alternativas o múltiples
El cuarto caso especial de la programación lineal ocurre cuando para diferentes combinaciones de valores para las variables de decisión tenemos el mismo valor en la función objetivo. Por ejemplo, consideremos el siguiente modelo lineal:
Sujeto a:
Para resolver por el método gráfico tenemos que valuar la función objetico en cada uno de los vértices de la región de soluciones factibles.
| Vértice | Función objetivo U= 12X1+8X2 | U |
| A(10,0) | 12(10)+8(0)=120 | 120 |
| B(30,0) | 12(30)+8(0)=360 | 360 |
| C(30,15) | 12(30)+8(15)=480 | 480 |
| D(10,45) | 12(10)+8(45)=480 | 480 |
La utilidad óptima es 480, pero para llegar a ese nivel de utilidad se tienen dos alternativas:
- U*=480, X*1=30 y X*2=15
- U*=480, X*1=10 y X*2=45
Esto sucede porque la pendiente de la función objetivo (mFO) es igual que la pendiente de la primera restricción (mPR):
De hecho, este último resultado nos dice que cualequier punto sobre el segmento CD es una solución óptima alterna. Por ejemplo, vamos a considerar el punto (20,30), entonces valuamos en la función objetivo:
Hemos obtenido el máximo nivel de utilidad establecido anteriormente, ahora vamos a verificar que el punto satisface las restricciones:
La primera restricción se cumple porque 240 es igual a 240.
La segunda y tercera restricciones se cumplen dado que 20 es mayor o igual a 10 y 20 es menor o igual a 30, respectivamente.
Recurriendo a la geometría podemos decir que hay un número infinito de puntos sobre el segmento CD, por lo tanto, hay un número infinito de soluciones óptimas alternas que conducen a un nivel de utilidad de 480, dicho de otro modo, existe un número infinito de caminos para alcanzar esa utilidad lo que se traduce en una gran flexibilidad para la planificación de actividades en una empresa.