Ecuaciones con radicales, qué son, ejemplos, cómo resolver

Las ecuaciones radicales son aquellas con uno o más radicales que contienen la variable. Para resolver una ecuación radical se despeja el radical y se elevan ambos miembros de la ecuación a una potencia igual al índice del radical, después, se resuelve la ecuación que resulta con las propiedades pertinentes.

Tabla de contenidos

Qué son las ecuaciones radicales

Una ecuación radical es aquella con uno o más radicales que contienen a la variable, es decir, la variable es parte del radicando. Por ejemplo:

$\sqrt{x+1}=2$

$\sqrt{x}=36$

$\sqrt{x+11}-8=16$

Resolver ecuaciones con un radical

Ejemplo:

$\sqrt{x+5}-3=x$

Se suma 3 en ambos lados de la ecuación:

$\sqrt{x+5}=x+3$

Se elevan ambos miembros de la ecuación al cuadrado:

$x+5=\left(x+3\right)^{2}$

Se desarrolla el producto en el miembro derecho de la ecuación:

$x+5=x^{2}+6x+9$

Se resta x y 5 en ambos miembros de la ecuación:

$x^{2}+5x+4=0$

Se factoriza:

$\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0$

Se aplica la propiedad del producto para encontrar las soluciones:

Si $x+1=0$ , entonces, $x_{1}=-1$ .

Si $x+4=0$ , entonces, $x_{2}=-4$ .

Antes de enunciar el conjunto solución es necesario comprobar las soluciones sustituyendo en la ecuación original.

Se sustituye $x_{1}=-1$ en la ecuación original:

$\sqrt{x+5}-3=x$

$\sqrt{-1+5}-3=-1$

Se realizan las operaciones:

$\sqrt{4}=2$

$2=2$

La solución $x_{1}=-1$ se ha comprobado puesto que se cumple la igualdad.

Ahora, se sustituye $x_{2}=-4$ en la ecuación original:

$\sqrt{x+5}-3=x$

$\sqrt{-4+5}-3=-4$

Se realizan las operaciones:

$\sqrt{1}=-1$

$1\neq-1$

La solución $x_{2}=-4$ es una solución extraña, es decir, resulta falsa y no satisface la ecuación original.

El conjunto solución es $\{-1\}$ .

Soluciones extrañas

Es importante comprobar las soluciones obtenidas, pues al elevar ambos miembros de una ecuación radical a una potencia igual al índice del radical, es posible que se encuentren soluciones que no satisfacen la ecuación original, por lo tanto, no son soluciones de la misma, y se les llama soluciones extrañas.

Si se considera la ecuación $\sqrt{x}=-2$ se determina, por simple inspección, que no tiene solución: la raíz cuadrada de un número real cualquiera (x) no puede ser negativa. La solución extraña aparece cuando se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-2\right)^{2}$

$x=4$

Pero al sustituir en la ecuación original, se obtiene una solución extraña

$\sqrt{x}=-2$

$\sqrt{4}=-2$

$2\neq-2$

Resolver ecuaciones con dos radicales

Ejemplo:

$\sqrt{x-1}-\sqrt{3x+1}+2=0$

Primero, se escribe una ecuación equivalente de manera que un radical aparezca solo en un miembro de la ecuación:

$\sqrt{x-1}=\sqrt{3x+1}-2$

Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación:

$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+1}-2\right)^{2}$

$x-1=3x+1-4\sqrt{3x+1}+4$

Todavía aparece un radical en la ecuación, entonces, se repite el proceso, se escribe una ecuación equivalente de modo que el radical aparezca solo en un miembro de la ecuación:

$4\sqrt{3x+1}=2x+6$