Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos

En este artículo se explica la manera de hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados. Se proporciona un ejemplo en el que se resuelve un sistema de ecuaciones para determinar las coordenadas del centro de la circunferencia, después, se determina el radio y, finalmente, la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(-4,-1), B(-2,5) y C(4,3).

Solución:

Primero, se calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B:

$m_{AB}=\frac{5-\left(-1\right)}{-2-\left(-4\right)}$

$m_{AB}=\frac{6}{2}=3$

También, se calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos B y C:

$m_{BC}=\frac{3-5}{4-\left(-2\right)}$

$m_{BC}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$

Después, se calculan las coordenadas del punto medio del segmento AB:

$Pm_{AB}=\left(\frac{-4-2}{2},\frac{-1+5}{2}\right)$

$Pm_{AB}=\left(\frac{-6}{2},\frac{4}{2}\right)$

$Pm_{AB}=\left(-3,2\right)$

Luego, se calculan las coordenadas del punto medio del segmento BC:

$Pm_{BC}=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{5+3}{2}\right)$

$Pm_{BC}=\left(\frac{2}{2},\frac{8}{2}\right)$

$Pm_{BC}=\left(1,4\right)$

La ecuación de la recta que pasa por Pm_AB y es perpendicular al segmento AB es la siguiente:

$y-2=-\frac{1}{3}\left(x-\left(-3\right)\right)$

$-3y+6=x+3$

$x+3y-3=0$

La ecuación de la recta obtenida corresponde a la mediatriz AB.

La ecuación de la recta que pasa por Pm_BC y es perpendicular al segmento BC es la siguiente:

$y-4=3\left(x-1\right)$

$y-4=3x-3$

$3x-y+1=0$

Esta ecuación corresponde a la mediatriz BC.

Ahora se resuelve el siguiente sistema para determinar las coordenadas del centro de la circunferencia:

$x+3y=3$

$3x-y=-1$

El centro de la circunferencia se encuentra en la intersección de las mediatrices AB y BC. Se aplica la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones:

$det=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 3 & -1 \end{vmatrix}=-10$

$det_{x}=\begin{vmatrix} 3 & 3\\ -1 & -1 \end{vmatrix}=0$

$det_{y}=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 3 & -1 \end{vmatrix}=-10$

Las coordenadas del centro de la circunferencia se calculan a continuación:

$x=\frac{det_{x}}{det}=\frac{0}{-10}=0$

$y=\frac{det_{y}}{det}=\frac{-10}{-10}=1$

La coordenadas del centro de la circunferencia son (0,1), para determinar el radio de la circunferencia se aplica la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$