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¿Qué es la distribución de probabilidad exponencial?
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua, lo que significa que, dado un intervalo, el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad exponencial corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en el intervalo. Se utiliza para estudiar los tiempos entre llegadas en una línea de espera de un banco, hospital, centro de distribución, etc., el tiempo entre llamadas telefónicas en un call center y, en general, el tiempo entre eventos en procesos de Poisson.
La función de densidad de probabilidad exponencial es la siguiente:
Donde, la media se denota como μ. Consideremos el ejemplo de un fabricante de chips, los cuales fallan aleatoriamente. El tiempo medio de vida útil de un chip es de 6 años. ¿Cuál es la probabilidad de que un chip dure 6 años o menos, P(x≤6)?
La probabilidad acumulada de que la variable aleatoria x tome un valor menor o igual a x0 se calcula como sigue:
Si la variable aleatoria x de define como el tiempo de vida útil de un chip y la media de tiempo de vida útil μ es igual a 6, realizamos los siguientes cálculos:
La probabilidad de que el tiempo de vida útil de un chip sea 6 años o menos es igual a 0.6321, el área sombreada en la siguiente gráfica representa esta probabilidad:
¿Cuál es la probabilidad de que un chip tenga un tiempo de vida útil entre 3 y 9 años? Procedemos calculando P(x≤3) y P(x≤9), luego restamos P(x≤3) de P(x≤9).
La probabilidad de que el tiempo de vida útil de un chip sea mayor o igual a 3 años y menor o igual a 9 años es igual a 0.3834, el área sombreada en la siguiente gráfica representa esta probabilidad:
Una propiedad de la distribución exponencial es que su media y desviación estándar son iguales, para el ejemplo del tiempo de vida útil de los chips se tiene que:
Luego, la varianza es igual a 36.
Relación entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson
Debemos recordar que la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta útil para describir el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo o espacio, cuya distribución de probabilidad es la siguiente:
La media μ de la distribución de Poisson se define como el valor esperado de ocurrencias en un intervalo de tiempo o espacio. La distribución exponencial describe la magnitud de los intervalos entre ocurrencias. Por ejemplo, si llegan 20 clientes a un banco cada hora (μ=20), la función de probabilidad de Poisson es la siguiente:
De lo anterior, sabemos que el tiempo promedio entre llegadas es igual 0.05 horas por cliente (1/20). Entonces, la media de la distribución exponencial que describe el tiempo entre las llegadas de clientes al banco es igual a 0.05 (μ=0.05) y la función de densidad de probabilidad exponencial es la siguiente:
