Desigualdades lineales, qué son, cómo resolver, ejemplos

Las desigualdades lineales son relaciones del tipo “menor que”, “mayor que”, “menor o igual que” y “mayor o igual que”. Las propiedades de la desigualdad son útiles para resolver una desigualdad lineal. El conjunto solución de una desigualdad se puede expresar con notación de conjuntos y con notación de intervalos.

Tabla de contenidos

Qué es una desigualdad lineal

Una desigualdad lineal es una relación de la forma:

$ax+b<0$ , el signo $<$ se lee “menor que”.
$ax+b>0$ , el signo $>$ se lee “mayor que”.
$ax+b\leq0$ , el signo $\leq$ se lee “menor o igual que”.
$ax+b\geq0$ , el signo $\geq$ se lee “mayor o igual que”.

Resolver una desigualdad lineal

Ejemplo:

Se considera la siguiente desigualdad:

$-4x+3<15$

Se resta 3 en ambos lados de la desigualdad:

$-4x+3-3<15-3$

$-4x<12$

Se dividen ambos lados entre -4, como el divisor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad:

$x>-3$

El conjunto solución se puede expresar con notación de conjuntos o con notación de intervalos:

Notación de conjuntos: $\{x\mid x>-3\}$

Notación de intervalos: $\left(-3,\infty\right)$

Es decir que, cualquier valor de x mayor que -3 hacen que la desigualdad sea verdadera.

Comprobación:

Se sustituye cualquier valor de x mayor que -3 en la desigualdad original:

$-4x+3<15$

Si $x=2$ , se tiene que:

$-4\left(2\right)+3<15$

Se realizan operaciones:

$-8+3<15$

$-5<15$

Resulta verdadero que -5 es menor que 15.

Resolver una desigualdad lineal con fracciones

Ejemplo:

Se considera la siguiente desigualdad:

$\frac{x-4}{2}-\frac{x+1}{3}\leq-\frac{x}{6}$

Se multiplican ambos lados de la desigualdad por el mínimo común denominador (mcd) que es igual a 6:

$6\left(\frac{x-4}{2}-\frac{x+1}{3}\right)\leq6\left(-\frac{x}{6}\right)$

Se aplica la propiedad distributiva del lado izquierdo de la desigualdad y se multiplica del lado derecho de la desigualdad:

$3x-12-2x-2\leq-x$

Se reducen términos semejantes del lado izquierdo de la desigualdad:

$x-14\leq-x$

Se suma x en ambos lados de la desigualdad:

$2x-14\leq0$

Se suma 14 en ambos lados de la desigualdad:

$2x\leq14$

Se dividen ambos lados de la desigualdad entre 2:

$x\leq7$

El conjunto solución se expresa con notación de conjuntos $\{x\mid x\leq7\}$ o con notación de intervalos $\left(-\infty,7\right]$ . Entonces, cualquier valor de x menor o igual a 7 satisface la desigualdad.