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Cubo de la diferencia de un binomio – qué es, ejemplos

El cubo de una diferencia es un producto notable cuya fórmula resulta conveniente memorizar dada la frecuencia con la que se suele presentar en los cálculos de ingeniería y ciencias. En este artículo se explica qué es el cubo de la diferencia de un binomio, su fórmula, el desarrollo de la fórmula, además, se presentan ejemplos y ejercicios con respuesta.

Tabla de contenidos

Qué es el cubo de la diferencia de un binomio

El cubo de la diferencia de un binomio es un producto que se presenta con frecuencia, razón por la que se le cuenta entre los llamados productos notables. Sea una diferencia cualquiera a-b, entonces, su cubo se expresa como:

(a-b)^{3}

En este caso, la suma a-b es la base y el exponente igual a 3 indica que la base se multiplica 3 veces, entonces:

(a-b)^{3}=(a-b)(a-b)(a-b)

Fórmula del cubo de la diferencia de un binomio

El producto del cubo de la diferencia de un binomio es un cubo perfecto:

(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

Es aconsejable memorizar la fórmula anterior dada la frecuencia con la que el cubo de la diferencia de un binomio se presenta en los cálculos de ingeniería o ciencias.

Desarrollo del cubo de la diferencia de un binomio

Primero, se expresa el cubo de la diferencia de un binomio como un producto de tres binomios:

(a-b)^{3}=(a-b)(a-b)(a-b)

Luego, se multiplica, término a término, el segundo binomio por el tercer binomio:

(a-b)^{3}=(a-b)(a^{2}-ab-ab+b^{2})

Se reducen términos semejantes dentro del segundo paréntesis:

(a-b)^{3}=(a-b)(a^{2}-2ab+b^{2})

Ahora se multiplica el binomio a-b por el trinomio cuadrado perfecto a^{2}-2ab+b^{2}:

(a-b)^{3}=a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+2ab^{2}-b^{3}

Finalmente, se reducen términos semejantes:

(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

El primer término a se eleva al cubo, menos el triple del producto del cuadrado del primer término a por el segundo término b, más el triple del producto del primer término a por el cuadrado del segundo término b, menos el cubo del segundo término b.

Ejemplos del cubo de la diferencia de un binomio

Ejemplo:

(x-y)^{3}

Al aplicar la fórmula del cubo de una diferencia se tiene que:

(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}

Si se desarrolla paso a paso el producto se tiene:

(x-y)^{3}=(x-y)(x-y)(x-y)

Se multiplica término a término el segundo binomio por el tercer binomio:

(x-y)^{3}=(x-y)(x^{2}-xy-xy+y^{2})

Se reducen términos semejantes dentro del segundo paréntesis:

(x-y)^{3}=(x-y)(x^{2}-2xy+y^{2})

Luego, se multiplica término a término el binomio x-y por el trinomio cuadrado perfecto x^{2}-2xy+y^{2}:

(x-y)^{3}=x^{3}-2x^{2}y+xy^{2}-x^{2}y+2xy^{2}-y^{3}

Se reducen términos semejantes:

(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}

Se ha llegado al mismo resultado que al aplicar la fórmula.

Ejemplo:

(2x-y)^{3}

Al aplicar la fórmula se tiene:

(2x-y)^{3}=8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-y^{3}

Si se desea desarrollar el producto se tiene:

(2x-y)^{3}=(2x-y)(2x-y)(2x-y)

Se multiplica, término a término, el segundo binomio por el tercer binomio:

(2x-y)^{3}=(2x-y)(4x^{2}-2xy-2xy+y^{2})

Se reducen términos semejantes dentro del segundo paréntesis:

(2x-y)^{3}=(2x-y)(4x^{2}-4xy+y^{2})

Se multiplican, término a término, los polinomios:

(2x-y)^{3}=8x^{3}-8x^{2}y+2xy^{2}-4x^{2}y+4xy^{2}-y^{3}

Finalmente, se reducen términos semejantes:

(2x-y)^{3}=8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-y^{3}

Ejercicios del cubo de la diferencia de un binomio

  • (x-2y)^3=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3
  • (2x-2y)^3=8x^3-24x^2y+24xy^2-8y^3
  • (3x-y)^3=27x^3-27x^2y+9xy^2-y^3
  • (3x-2y)^3=27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3
  • (4x-6y)^3=64x^3-288x^2y+432xy^2-216y^3
  • (5v-4w)^3=125v^3-300v^2w+240vw^2-64w^3
  • (7y-2z)^3=343y^3-294y^2z+84yz^2-8z^3
  • (4x-4y)^3=64x^3-192x^2y+192xy^2-64y^3

Temas relacionados con los productos notables:

Cómo citar

García, Miguel. (02 noviembre 2023). Cubo de la diferencia de un binomio – qué es, ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 28 febrero 2025.