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Cómo deducir fórmula general de ecuaciones de segundo grado

La fórmula general de ecuaciones de segundo grado se puede obtener completando el cuadrado y aplicando la propiedad de la raíz cuadrada. También, se presenta un ejemplo en el que se obtienen las raíces con la fórmula y, después, se comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Índice

Deducción

La fórmula general de ecuaciones de segundo grado se obtiene completando el cuadrado.

Sea ax^{2}+bx+c=0 una ecuación cuadrática con a\neq0. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente principal a>0

\frac{ax^{2}}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}

Se simplifica:

x^{2}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0

Se resta \frac{c}{a} en ambos miembros:

x^{2}+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}

Se suma el cuadrado de un medio de \frac{b}{a} en ambos lados de la igualdad:

x^{2}+\frac{bx}{a}+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}\right)^{2}-\frac{c}{a}

x^{2}+\frac{bx}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}

Se factoriza el lado izquierdo como el cuadrado de una suma:

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}

Se suman las fracciones del lado derecho de la igualdad:

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

Se aplica la propiedad de la raíz cuadrada:

x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}

Se aplica la propiedad del cociente de radicales:

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Se resta \frac{b}{2a} en ambos miembros de la igualdad:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Se suman las fracciones del lado derecho de la igualdad:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

De esta manera se ha obtenido la fórmula general de ecuaciones de segundo grado.

Ejemplo

x^{2}-2x-15=0

Entonces, se identifica que a=1, b=-2 y c=-15, luego se sustituyen estos valores en la fórmula:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

x=\frac{-\left(-2\right)\pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(1\right)\left(-15\right)}}{2\left(1\right)}

Se realizan las multiplicaciones:

x=\frac{2\pm\sqrt{4+60}}{2}

Se suma dentro del radical:

x=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2}

La raíza cuadrada de 64 es igual a 8:

x=\frac{2\pm8}{2}

Las raíces son:

x_{1}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5

x_{1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3

Se puede comprobar sustituyendo las soluciones en la ecuación original.

Se tiene x^{2}-2x-15=0 y se sustituye x_{1}=5:

\left(5\right)^{2}-2\left(5\right)-15=0

25-10-15=0

0=0

Se tiene x^{2}-2x-15=0 y se sustituye x_{2}=-3:

\left(-3\right)^{2}-2\left(-3\right)-15=0

9+6-15=0

0=0

En ambos casos, se verifica la igualdad.

El mismo conjunto solución se obtiene factorizando y aplicando la propiedad del producto cero:

x^{2}-2x-15=0

\left(x+3\right)\left(x-5\right)=0

Temas relacionados con las ecuaciones cuadráticas:

Temas relacionados con el discriminante de una ecuación cuadrática:

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Cómo citar

García, Sergio. (15 noviembre 2023). Cómo deducir fórmula general de ecuaciones de segundo grado. Celeberrima.com. Última actualización el 17 noviembre 2023.