División de un segmento en una razón dada, fórmula, ejemplos

Se explica cómo calcular las coordenadas del punto P que divide un segmento en una razón dada r. Además, se muestra cómo calcular el punto P cuando se conocen las coordenadas de los puntos extremos del segmento y la razón r, también, cómo calcular uno de los puntos extremos del segmento si se conocen las coordenadas del otro punto extremo, del punto P y la razón r.

Las coordenadas del punto P(x,y) que divide el segmento $\overline{P_{1}P_{2}}$ en una razón dada r se calculan de la siguiente manera:

$x=x_{1}+r\left(x_{2}-x_{1}\right)$

$y=y_{1}+r\left(y_{2}-y_{1}\right)$

Los puntos P₁ y P₂ son los puntos extremos del segmento y la razón r se define como:

$r=\frac{\overline{P_{1}P}}{\overline{P_{1}P_{2}}}$

Ejemplo:

P₁(1,2) y P₂(10,11) son los puntos extremos de un segmento. Proporcionar las coordenadas del punto P que divide el segmento en la razón r=2/3.

Solución:

Se tiene la fórmula para calcular la abscisa del punto P:

$x=x_{1}+r\left(x_{2}-x_{1}\right)$

Se evalúa para los valores de las coordenadas y r:

$x=1+\frac{2}{3}\left(10-1\right)$

Se calcula la resta dentro del paréntesis:

$x=1+\frac{2}{3}\left(9\right)$

Se multiplica dos tercios por nueve:

$x=1+\frac{18}{3}$

Se divide 18 entre 3:

$x=1+6$

Por último, se suma 1 y 6:

$x=7$

La abscisa del punto P es igual a 7.

Se tiene la fórmula para calcular la ordenada del punto P:

$y=y_{1}+r\left(y_{2}-y_{1}\right)$

Se evalúa para los valores conocidos de las coordenadas y r:

$y=2+\frac{2}{3}\left(11-2\right)$

Se resta dentro de los paréntesis:

$y=2+\frac{2}{3}\left(9\right)$

Se multiplica dos tercios por nueve:

$y=2+\frac{18}{3}$

Se divide 18 entre 3:

$y=2+6$

Se suma para obtener el valor de la ordenada del punto P:

$y=8$

La ordenada del punto P es igual a 8. El punto P(7,8) divide el segmento en una razón r=2/3.

Ejemplo:

P₁(-3,2) es un punto extremo de un segmento, el punto P(17,17) divide el segmento en una razón r=1/5. ¿Cuáles son las coordenadas del otro punto extremo?

Solución:

Se despeja x₂ de la fórmula para calcular la abscisa del punto P:

$x=x_{1}+r\left(x_{2}-x_{1}\right)$

Se resta x₁ en ambos lados de la igualdad:

$x-x_{1}=r\left(x_{2}-x_{1}\right)$