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Desigualdades lineales, qué son, cómo resolver, ejemplos

Las desigualdades lineales son relaciones del tipo «menor que», «mayor que», «menor o igual que» y «mayor o igual que». Las propiedades de la desigualdad son útiles para resolver una desigualdad lineal. El conjunto solución de una desigualdad se puede expresar con notación de conjuntos y con notación de intervalos.

Índice

Qué es una desigualdad lineal

Una desigualdad lineal es una relación de la forma:

  • ax+b<0, el signo < se lee «menor que».
  • ax+b>0, el signo > se lee «mayor que».
  • ax+b\leq0, el signo \leq se lee «menor o igual que».
  • ax+b\geq0, el signo \geq se lee «mayor o igual que».

Resolver una desigualdad lineal

Ejemplo:

Se considera la siguiente desigualdad:

-4x+3<15

Se resta 3 en ambos lados de la desigualdad:

-4x+3-3<15-3

-4x<12

Se dividen ambos lados entre -4, como el divisor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad:

x>-3

El conjunto solución se puede expresar con notación de conjuntos o con notación de intervalos:

Notación de conjuntos: \{x\mid x>-3\}

Notación de intervalos: \left(-3,\infty\right)

Es decir que, cualquier valor de x mayor que -3 hacen que la desigualdad sea verdadera.

Comprobación:

Se sustituye cualquier valor de x mayor que -3 en la desigualdad original:

-4x+3<15

Si x=2, se tiene que:

-4\left(2\right)+3<15

Se realizan operaciones:

-8+3<15

-5<15

Resulta verdadero que -5 es menor que 15.

Resolver una desigualdad lineal con fracciones

Ejemplo:

Se considera la siguiente desigualdad:

\frac{x-4}{2}-\frac{x+1}{3}\leq-\frac{x}{6}

Se multiplican ambos lados de la desigualdad por el mínimo común denominador (mcd) que es igual a 6:

6\left(\frac{x-4}{2}-\frac{x+1}{3}\right)\leq6\left(-\frac{x}{6}\right)

Se aplica la propiedad distributiva del lado izquierdo de la desigualdad y se multiplica del lado derecho de la desigualdad:

3x-12-2x-2\leq-x

Se reducen términos semejantes del lado izquierdo de la desigualdad:

x-14\leq-x

Se suma x en ambos lados de la desigualdad:

2x-14\leq0

Se suma 14 en ambos lados de la desigualdad:

2x\leq14

Se dividen ambos lados de la desigualdad entre 2:

x\leq7

El conjunto solución se expresa con notación de conjuntos \{x\mid x\leq7\} o con notación de intervalos \left(-\infty,7\right]. Entonces, cualquier valor de x menor o igual a 7 satisface la desigualdad.

Comprobación:

Se sustituye x por un valor menor o igual a 7 en la desigualdad original:

\frac{x-4}{2}-\frac{x+1}{3}\leq-\frac{x}{6}

\frac{7-4}{2}-\frac{7+1}{3}\leq-\frac{7}{6}

Luego, se simplifica:

\frac{3}{2}-\frac{8}{3}\leq-\frac{7}{6}

-\frac{7}{6}\leq-\frac{7}{6}

Menos siete sextos es igual a menos siete sextos, la desigualdad se estableció como «menor o igual que», entonces, se verifica que es verdadera.

Temas relacionados con las propiedades de la desigualdad:

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Cómo citar

García, Sergio. (27 noviembre 2023). Desigualdades lineales, qué son, cómo resolver, ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 28 noviembre 2023.