Propiedades de la desigualdad, cuáles son, explicación

Las propiedades de la desigualdad son útiles para resolver desigualdades, entre ellas se tienen la propiedad de la desigualdad de la suma, de la resta, de la multiplicación, de la división, etc. En este artículo, las propiedades de la desigualdad se explican con el signo mayor que $\left(>\right)$ , pero son válidas para los otros signos: menor que $\left(<\right)$ , mayor o igual que $\left(\geq\right)$ y menor o igual que $\left(\leq\right)$ .

Índice

Para qué sirven las propiedades de la desigualdad
Propiedad de la desigualdad de la suma
Propiedad de la desigualdad de la resta
Propiedad de la desigualdad de la multiplicación
Propiedad de la desigualdad de la división
Propiedad de la suma miembro a miembro
Propiedad transitiva de la desigualdad
Propiedad de la multiplicación miembro a miembro
Propiedad de los recíprocos

Para qué sirven las propiedades de la desigualdad

Las propiedades de la desigualdad sirven para resolver desigualdades formando desigualdades más sencillas hasta que la solución es evidente.

Propiedad de la desigualdad de la suma

El sentido de la desigualdad no cambia si se suma la misma cantidad a ambos miembros. Se considera la desigualdad:

$a>b$

Si se suma una cantidad c en ambos miembros, se tiene que:

$a+c>b+c$

Ejemplo:

$5x>3x$

Ahora, se suma 7 en ambos miembros de la desigualdad:

$5x+7>3x+7$

Propiedad de la desigualdad de la resta

El sentido de la desigualdad no cambia si se resta la misma cantidad a ambos miembros. Se considera la desigualdad:

$a>b$

Si se resta una cantidad c en ambos miembros, se tiene que:

$a-c>b-c$

Ejemplo:

$xy>z$

Ahora, se resta k en ambos miembros de la desigualdad:

$xy-k>z-k$

Propiedad de la desigualdad de la multiplicación

Esta propiedad tiene dos casos: cuando ambos miembros de la desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva y cuando ambos miembros se multiplican por la misma cantidad negativa.

Primer caso: Ambos miembros de la desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva.

El sentido de la desigualdad no cambia si ambos miembros de la desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva. Se considera la desigualdad:

$a>b$

Se multiplican ambos miembros por la misma cantidad positiva c:

$ac>bc$

Ejemplo:

$x>y$

Ahora, se multiplican ambos miembros por 5:

$5x>5y$

Segundo caso: Ambos miembros de la desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa.

El sentido de la desigualdad cambia si ambos miembros de la desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa. Se considera la desigualdad:

$a>b$

Se multiplican ambos miembros por la misma cantidad negativa c:

$ac<bc$

Ejemplo:

$x>y$

Ahora, se multiplican ambos miembros por -7:

$-7x<-7y$

Propiedad de la desigualdad de la división

Esta propiedad tiene dos casos: cuando ambos miembros de la desigualdad se dividen entre la misma cantidad positiva y cuando ambos miembros se dividen entre la misma cantidad negativa.

Primer caso: Ambos miembros de la desigualdad se dividen entre la misma cantidad positiva.

El sentido de la desigualdad no cambia si ambos miembros de la desigualdad se dividen entre la misma cantidad positiva. Se considera la desigualdad:

$a>b$

Se dividen ambos miembros entre la misma cantidad positiva c:

$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$

Ejemplo:

$x>y$

Ahora, se dividen ambos miembros entre 2:

$\frac{x}{2}>\frac{y}{2}$

Segundo caso: Ambos miembros de la desigualdad se dividen entre la misma cantidad negativa.

El sentido de la desigualdad cambia si ambos miembros de la desigualdad se dividen entre la misma cantidad negativa. Se considera la desigualdad:

$a>b$

Se multiplican ambos miembros por la misma cantidad negativa c:

$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$

Ejemplo:

$2xy>xy$

Ahora, se dividen ambos miembros de la desigualdad entre -3:

$-\frac{2xy}{3}<-\frac{xy}{3}$

Propiedad de la suma miembro a miembro

Al sumar miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, el resultado es una desigualdad en el mismo sentido. Sean las desigualdades $a>b$ y $c>d$ , al sumar miembro a miembro ambas desigualdades se tiene:

$a+c>b+d$

Ejemplo:

Sean $2x>3y$ y $4m>n$ , al sumar miembro a miembro dichas desigualdades, se tiene:

$2x+4m>3y+n$

Propiedad transitiva de la desigualdad

Si a es mayor que b y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.

Si $a>b$ y $b>c$ , entonces, $a>c$ .

Ejemplo:

Sean:

$11x>5x+y$

$5x+y>400$

Entonces:

$11x>400$

Propiedad de la multiplicación miembro a miembro

Al multiplicar miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, el resultado es una desigualdad en el mismo sentido. Sean las desigualdades $a>b$ y $c>d$ , al multiplicar miembro a miembro ambas desigualdades se tiene:

$ac>bd$