Expresiones racionales – qué son, ejemplos, simplificar

Una expresión racional es una razón entre dos polinomios. Se deben identificar y excluir los valores de las variables para los que el denominador es igual a cero. Una expresión racional está simplificada cuando 1 o -1 son los únicos factores compartidos por numerador y denominador.

Índice

Qué es una expresión racional
Valores restringidos de una expresión racional
Simplificar expresiones racionales

Qué es una expresión racional

Una expresión racional es una razón de dos polinomios.

Ejemplos:

$\frac{x+3}{x+5}$
$\frac{x}{x^{2}+2x+16}$
$\frac{xy}{7x^{2}y^{3}}$

Valores restringidos de una expresión racional

Se debe tener cuidado de excluir los valores de las variables que hacen cero el denominador de una expresión racional.

Ejemplo:

$\frac{4x}{3xy}$

En este caso, $x\neq0$ y $y\neq0$ , si x es igual a cero, entonces, el producto xy es igual a cero, luego el denominador es igual cero y la división entre cero no está definida. De manera similar, si y es igual a cero, el producto xy es igual a cero, en consecuencia, el denominador es igual a cero.

Ejemplo:

$\frac{x+5}{x-7}$

Se tiene que para esta expresión $x\neq7$ , si x=7, entonces, el denominador es igual a cero.

Ejemplo:

$\frac{x+4}{x^{2}-9}$

Para esta expresión se tiene que $x\neq3$ y $x\neq-3$ . Esto es porque en el denominador se tiene una diferencia de cuadrados:

$\frac{x+4}{x^{2}-9}=\frac{x+4}{x^{2}-3^{2}}$

Y una diferencia de cuadrados se puede expresar como un producto entre conjugados:

$\frac{x+4}{x^{2}-9}=\frac{x+4}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$

En el caso del primer factor en el denominador, $x\neq-3$ para evitar que el denominador sea igual a cero.

$\left(x+3\right)=-3+3=0$

Al considerar el segundo factor, se tiene que $x\neq3$ :

$\left(x-3\right)=3-3=0$

Simplificar expresiones racionales

Para simplificar expresiones racionales, se factorizan el numerador y el denominador para determinar fracciones equivalentes. Siempre es importante identificar y excluir los valores restringidos. Se dice que una expresión racional está en sus términos mínimos, es decir, simplificada, cuando los factores que comparten el numerador y el denominador son 1 o -1.

Ejemplo:

$\frac{6\sqrt{13}+9}{3}$