Valor absoluto, qué es, ejemplos, distancia entre dos puntos

Se presenta la definición de valor absoluto, se muestra la relación entre el valor absoluto y la recta numérica, la utilidad del valor absoluto para determinar la distancia entre dos puntos en la recta numérica y la eliminación de las barras de valor absoluto para simplificar expresiones matemáticas.

Índice

• Definición de valor absoluto
• Valor absoluto y la recta numérica
• Valor absoluto y distancia entre dos puntos
• Eliminación de las barras de valor absoluto de una expresión

Definición de valor absoluto

Sea x un número real, su valor absoluto se denota como y se define como:

Es decir:

• El valor absoluto de x es igual a x, si x es un número positivo o cero.
• El valor absoluto de x es igual al opuesto de x, si x es un número negativo.

Cualquier número real x tiene un opuesto que se denota como -x. El opuesto de 8 es -8 y, el opuesto de -8 es 8. Si un número es positivo, su opuesto es negativo; si un número es negativo, su opuesto es positivo. El opuesto de un número es su inverso aditivo.

El valor absoluto de un número diferente de cero siempre es un número positivo y el valor absoluto de cero es igual a cero.

Ejemplo:

Cinco es un número positivo, entonces, según la definición de valor absoluto, el valor absoluto de 5 es igual a 5.

Ejemplo:

Menos nueve es un número negativo, entonces, su valor absoluto es igual a su opuesto, es decir, a nueve.

Ejemplo:

El valor absoluto de 0 es 0.

Valor absoluto y la recta numérica

El valor absoluto de un número real x es la distancia entre el cero u origen de la recta numérica y el número x.

porque entre 0 y 4 en la recta numérica hay 4 unidades de distancia.

porque entre 0 y -4 en la recta numérica hay 4 unidades de distancia.

4 y -4 están a la misma distancia del origen, pero en lados opuestos, 4 a la derecha y -4 a la izquierda.

Valor absoluto y distancia entre dos puntos

El valor absoluto también es útil para determinar la distancia entre dos puntos en la recta numérica. La distancia entre dos puntos m y n en la recta numérica es el valor absoluto de la diferencia de m y n:

O, alternativamente:

Ejemplo:

La distancia entre -3 y 2 en la recta numérica se determina como:

Se realizan las operaciones dentro de las barras de valor absoluto:

Luego, se aplica la definición de valor absoluto:

Se llega al mismo resultado de la siguiente manera:

Eliminación de las barras de valor absoluto de una expresión

La definición de valor absoluto es útil para escribir una expresión matemática sin las barras de valor absoluto.

Ejemplo:

Se tiene que , entonces, , luego se aplica la definición de valor absoluto:

El resultado es la misma expresión dentro de las barras de valor absoluto dado que ésta es positiva.

Ejemplo:

Como , entonces, , se aplica la definición de valor absoluto:

Menos uno es factor fuera del paréntesis:

Se aplica la propiedad distributiva:

Alternativamente, se puede reordenar:

En este caso, el resultado es el opuesto de la expresión dentro de las barras de valor absoluto dado que dicha expresión es negativa.

Ejemplo:

para

Si , entonces, , se aplica la definición de valor absoluto:

Se factoriza -1:

Se divide entre y se tiene que la expresión original es igual a -1:

Es importante notar que el denominador es diferente de cero dada la condición .

Ejemplo:

para , esta condición implica que , se aplica la definición de valor absoluto:

Se simplifica:

El denominador es diferente de cero dado que .

Temas relacionados con la división entre cero:

• Dividir entre cero
• Dividir cero entre cero
• Dividir cero entre un número diferente de cero