En este artículo se definen los radicales o raíces n-ésimas, se explica cómo simplificar radicales, se definen los exponentes racionales, se explica cómo simplificar los exponentes racionales, se enuncian las propiedades de los radicales, se explica cómo se aplica la propiedad del producto y la propiedad del cociente para simplificar radicales, se explica qué son los radicales semejantes y se explica la suma, la resta y la multiplicación de radicales.
Índice
- Definición de radicales o raíces n-ésimas
- Simplificación de raíces n-ésimas
- Definición de exponentes racionales
- Propiedades de los radicales
- Simplificación de radicales utilizando la propiedad del producto
- Simplificación de radicales utilizando la propiedad del cociente
- Radicales semejantes
- Sumar y restar radicales
- Multiplicación de expresiones radicales
Definición de radicales o raíces n-ésimas
Se tiene que para un número entero positivo , la raíz n-ésima principal de , denotada como es un número tal que:
, se lee la raíz n-ésima de a es igual a b.
Lo que significa que:
, se lee b elevado a la n-ésima potencia es igual a a.
Además, si el índice de la raíz es un número par, se necesita que y .
En la expresión , se tiene que es el índice de la raíz, es el radicando o subradical y es el signo de radical.
Simplificación de raíces n-ésimas
En los siguientes ejemplos se utiliza la definición de radicales para simplificar las expresiones dadas.
Ejemplo:
Esto es porque .
Ejemplo:
Ya que .
Ejemplo:
no es un número real, ningún número real elevado al cuadrado es igual a -1. De la definición de radicales se tiene que si es un número par, se necesita que y .
Ejemplo:
.
Menos 1 multiplica a la raíz cuadrada de 25:
Luego, la raíz cuadrada de 25 es igual a 5:
Finalmente, menos 1 por 5 es igual a -5:
Definición de exponentes racionales
Sean y dos números enteros y , luego, se tiene que:
Además:
En caso de que sea par, se requiere que .
La definición anterior implica que el denominador de un exponente racional se puede escribir como el índice de un radical y, además, que el orden en que se calculen la raíz y la potencia no afecta el resultado, siempre que el radicando sea mayor o igual a cero cuando el índice de la raíz sea par.
Simplificación de exponentes racionales
En los siguientes ejemplos se utiliza la definición de exponentes racionales para simplificar las expresiones dadas.
Ejemplo:
Porque 9 elevado a la un medio es igual a la raíz cuadrada de 9:
Luego, la raíz cuadrada de 9 es igual a 3:
Ejemplo:
Porque según la definición de exponentes racionales, se tiene que:
El cuadrado de -8 es igual a 64:
La raíz cúbica de 64 es igual a 4:
Alternativamente y, según la definición de exponentes racionales, se tiene que:
La raíz cúbica de -8 es igual a -2:
Y -2 eleva al cuadrado es igual a 4:
Ejemplo:
no es un número real, ningún número real elevado a la cuarta potencia es igual a -1. Según la definición de exponentes racionales se requiere que cuando el índice de la raíz es par.
Propiedades de los radicales
Las siguientes propiedades son verdaderas cuando los radicales dados sean números reales. Sean a y b números reales y n un número entero mayor de 1, es decir, y .
Propiedad del índice par
Si el índice n de una raíz es par, entonces:
Ejemplo:
Ejemplo:
Propiedad del índice impar
Si el índice n de una raíz es impar, entonces:
Ejemplo:
Ejemplo:
Propiedad del producto
Ejemplo:
Propiedad del cociente
Ejemplo:
Propiedad del radical anidado
Ejemplo:
Simplificación de radicales utilizando la propiedad del producto
Ejemplo:
Se aplica la propiedad del producto de varias potencias de una misma base:
Se aplica la propiedad del producto:
Se simplifica:
Simplificación de radicales utilizando la propiedad del cociente
Ejemplo:
Se aplica la propiedad del cociente:
La raíz cúbica de 8 es igual a 2 y en el numerador se aplica la propiedad del producto de varias potencias de una misma base:
Se aplica la propiedad del producto de radicales en el numerador:
Se simplifica:
Radicales semejantes
Son radicales semejantes aquellos cuyos radicandos e índices son iguales, por ejemplo, los siguientes son radicales semejantes:
y
y
Pero, y no son radicales semejantes, su índice es diferente y, tampoco lo son y , ya que el radicando es diferente.
Sumar y restar radicales
Para sumar y restar expresiones radicales se requiere que los radicales sean semejantes.
Ejemplo:
Se utiliza la propiedad distributiva:
Se simplifica:
Multiplicar expresiones radicales
Para multiplicar expresiones radicales se recurre a la propiedad del producto.
Ejemplo:
Se reagrupan los factores:
Se aplica la propiedad del producto de radicales:
Se aplica la propiedad de varias potencias de una misma base:
Se aplica la propiedad del producto de radicales:
Se simplifica:
Finalmente:
Temas relacionados con las leyes de los exponentes: