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Ejemplos adición (suma) de eventos que no son mutuamente excluyentes

La adición de eventos que no son mutuamente excluyentes nos permite calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento A o un evento B cuando ambos eventos pueden ocurrir en la misma prueba.

Ejemplos:

Vamos a considerar la baraja inglesa que consta de 52 cartas en total divididas en 4 palos —espadas, corazones, tréboles y rombos—, cada palo tiene 13 cartas, las primeras 10 cartas de cada palo son numeradas y las últimas 3 cartas están marcadas con una letra: J, Q y K, respectivamente. Dos palos son negros —espadas y tréboles— y dos palos son rojos —corazones y rombos—.

En los siguientes ejemplos suponemos que tomamos una carta al azar.

1.- ¿Cuál es la probabilidad de tomar una carta marcada con un 2 o tomar una carta roja?

En total tenemos 52 cartas en la baraja, 4 de ellas están marcadas con un 2, 26 son rojas y hay 2 cartas que están marcadas con un 2 y, además, son rojas, entonces:

P(2)=\frac{Cu\acute{a}ntos~n\acute{u}meros~dos~hay~en~la~baraja}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(2)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}

P(Roja)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cartas~rojas~hay~en~la~baraja}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(Roja)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}=0.5

P(2~y~Roja)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cartas~rojas~marcadas~con~un~dos~hay~en~la~baraja}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(2~y~Roja)=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}

Ahora, aplicamos la ley de adición de eventos que no son mutuamente excluyentes

P(2~o~Roja)=P(2)+P(Roja)-P(2~y~Roja)

P(2~o~Roja)=\frac{1}{13}+\frac{1}{2}-\frac{1}{26}

Realizando las operaciones tenemos que:

P(2~o~Roja)=\frac{7}{13}

Si repetimos este experimento un gran número de veces tendremos que poco más de la mitad de las ocasiones la carta elegida al azar estará marcada con un dos o será roja.

Dicho de otro modo, 7 de cada 13 cartas estarán marcadas con un 2 o serán rojas. este mismo resultado lo podemos obtener contando las cartas resaltadas en amarillo de la siguiente imagen:

Son 28 cartas resaltadas en amarillo, pero en la bajara hay 52 cartas, entonces:

P(2~o~Roja)=\frac{28}{52}

Reduciendo la fracción se tiene:

P(2~o~Roja)=\frac{7}{13}

2.- ¿Cuál es la probabilidad de tomar una carta marcada con una letra o tomar una carta negra?

Sabemos que la baraja tiene 52 cartas, 12 de ellas están marcadas con una letra, 26 son negras y hay 6 cartas marcadas con una letra y, además, son negras.

P(Letra)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cartas~marcadas~con~una~letra~hay~en~la~baraja}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(Letra)=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}

P(Negra)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cartas~negras~hay~en~la~baraja}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(Negra)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}

P(Letra~y~Negra)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cartas~marcadas~con~una~letra~son~negras~en~la~baraja}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(Letra~y~Negra)=\frac{6}{52}=\frac{3}{26}

La ley de adición de eventos que no son mutuamente excluyentes establece que:

P(Letra~o~Negra)=P(Letra)+P(Negra)-P(Letra~y~Negra)

P(Letra~o~Negra)=\frac{3}{13}+\frac{1}{2}-\frac{3}{26}

P(Letra~o~Negra)=\frac{8}{13}

El 61.5% de las veces que realicemos este experimento tendremos una carta marcada con una letra o una carta negra. De manera equivalente podemos decir que 8 de cada 13 cartas estarán marcadas con una letra o serán negras. A este mismo resultado podemos llegar al contar las cartas marcadas con una letra o negras en la baraja.

Hay 32 cartas que están marcadas con una letra o son negras, entonces:

P(Letra~o~Negra)=\frac{32}{52}

Reducimos la fracción:

P(Letra~o~Negra)=\frac{8}{13}

3.- ¿Cuál es la probabilidad de tomar una carta marcada con un 5 o una carta del palo de tréboles?

Nuevamente, en la baraja tenemos 52 cartas en total, hay 4 cartas marcadas con un 5, 13 cartas que pertenecen al palo de tréboles y 1 carta marcada con un 5 y, además, pertenece al palo de tréboles.

P(5)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cartas~marcadas~con~un~5~hay~en~la~baraja}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(5)=\frac{4}{52}

P(tr\acute{e}boles)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cartas~pertenecen~al~palo~de~tr\acute{e}boles}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(tr\acute{e}boles)=\frac{13}{52}

P(5~y~tr\acute{e}boles)=\frac{Cu\acute{a}ntas~cartas~marcadas~con~un~5~pertenecen~al~palo~de~tr\acute{e}boles}{Cu\acute{a}ntos~resultados~posibles~podemos~obtener~despu\acute{e}s~de~tomar~una~carta}

P(5~y~tr\acute{e}boles)=\frac{1}{52}

Ahora, recurrimos a la adición de eventos que no son mutuamente excluyentes:

P(5~o~tr\acute{e}boles)=P(5)+P(tr\acute{e}boles)-P(5~y~tr\acute{e}boles)

P(5~o~tr\acute{e}boles)=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}

P(5~o~tr\acute{e}boles)=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}

Este resultado nos dice que 30.7% de los resultados corresponderán a una carta marcada con un 5 o una carta que pertenece al palo de tréboles. Es decir que 4 de cada 13 cartas están marcadas con un 5 o pertenecen al palo de tréboles.

Si contamos las cartas resaltadas en amarillo de la imagen anterior tenemos 16. Es decir que 16 de 52 cartas corresponden a cartas marcadas con un 5 o que pertenecen al palo de tréboles.

P(5~o~tr\acute{e}boles)=\frac{16}{52}

Reducimos la fracción:

P(5~o~tr\acute{e}boles)=\frac{4}{13}

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Cómo citar

García, Sergio. (03 julio 2020). Ejemplos adición (suma) de eventos que no son mutuamente excluyentes. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.