Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada de orden n en la que el elemento en el renglón i y columna j es igual en magnitud al elemento en el renglón j y columna i, pero sus signos son contrarios. Además, todos los elementos de su diagonal principal son iguales a cero.
La definición es la siguiente:
Sea la matriz A una matriz cuadrada de orden n tal que se cumple:
![[a_{ij}]=[-a_{ji}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ba_%7Bij%7D%5D%3D%5B-a_%7Bji%7D%5D&bg=ffffff&fg=000&s=1&c=20201002)
y
![[a_{ii}]=0](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ba_%7Bii%7D%5D%3D0&bg=ffffff&fg=000&s=1&c=20201002)
para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.
Por ejemplo, para una matriz A cuadrada de orden 2 se tiene que:
Para que la matriz A sea antisimétrica se debe cumplir que:
El elemento en el primer renglón y segunda columna debe ser igual en magnitud al elemento en el segundo renglón y primer columna. Además, todos los elementos de la diagonal principal deben ser iguales a cero:
Una manera sencilla de verificar que una matriz A es antisimétrica es calcular la matriz transpuesta, si la matriz A es antisimétrcia se debe cumplir que:
Ejemplo 1:
Sea la matriz A:
La matriz A es antisimétrica porque todos los elementos de su diagonal principal son cero.
Además, se cumple que:
Al calcular la matriz transpuesta se tiene que:
Definitivamente, la matriz A es antisimétrica.
Ejemplo 2:
Sea la matriz A:
De la misma manera que en el ejemplo anterior podemos decir que la matriz es antisimétrica de orden 3 ya que todos los elementos en su diagonal principal son cero y, además, se tiene que:
Y cuando calculamos la matriz transpuesta tenemos que:
Ejemplo 3:
Sea la matriz A:
Todos los elementos de la diagonal pricnipal de la matriz A son cero, además, se cumple que:
También, podemos verificar que la matriz A es antisimétrica al calcular su transpuesta:
Entonces, la matriz es antisimétrica de orden 3.
Ejemplo 4:
Sea la matriz A:
Dado que todos los elementos de la diagonal principal son cero y que se cumple:
Alternativamente, podemos calcular la matriz transpuesta de A:
Podemos decir que la matriz A es antisimétrica.
Ejemplo 5:
Sea la matriz A:
Todos los elementos en la diagonal principal de la matriz A son cero y, se cumple que:
Y, si calculamos la matriz transpuesta de la matriz A tenemos que:
Por lo tanto, la matriz A es antisimétrica de orden 5.