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Cubo de la suma de un binomio – qué es, fórmula, ejemplos

El cubo de una suma es un producto notable y resulta conveniente memorizar su fórmula dada la frecuencia con la que se presenta en los cálculos de ingeniería y ciencias. En este artículo se explica qué es el cubo de la suma de un binomio, su fórmula, el desarrollo de la fórmula, además, se presentan ejemplos y ejercicios con respuesta.

Índice

Qué es el cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de un binomio es un producto que se presenta con frecuencia, razón por la que se le cuenta entre los llamados productos notables. Sea una suma cualquiera a+b, entonces, su cubo se expresa como:

(a+b)^{3}

En este caso, la suma a+b es la base y el exponente igual a 3 indica que la base se multiplica 3 veces, entonces, el binomio a+b aparece 3 veces como factor en una multiplicación:

(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)

Fórmula del cubo de la suma de un binomio

El producto del cubo de la suma de un binomio es un cubo perfecto:

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

Es aconsejable memorizar la fórmula anterior dada la frecuencia con la que el cubo de la suma de un binomio se presenta en algunos cálculos de ingeniería o ciencias.

Desarrollo del cubo de la suma de un binomio

Primero, se expresa el cubo de la suma de un binomio como un producto de tres binomios:

(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)

Luego, se multiplica, término a término, el segundo binomio por el tercer binomio:

(a+b)^{3}=(a+b)(a^{2}+ab+ab+b^{2})

Se reducen términos semejantes dentro del segundo paréntesis:

(a+b)^{3}=(a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})

Ahora se multiplica el binomio a+b por el trinomio cuadrado perfecto a^{2}+2ab+b^{2}:

(a+b)^{3}=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}

Finalmente, se reducen términos semejantes:

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

El primer término a se eleva al cubo, más el triple del producto del cuadrado del primer término a por el segundo término b, más el triple del producto del primer término a por el cuadrado del segundo término b, más el cubo del segundo término b.

Ejemplos del cubo de la suma de un binomio

Ejemplo:

(x+y)^{3}

Se aplica la fórmula y se obtiene que:

(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}

Al desarrollar el producto se tiene que:

(x+y)^{3}=(x+y)(x+y)(x+y)

Luego, se multiplica, término a término, el segundo binomio por el tercer binomio:

(x+y)^{3}=(x+y)(x^{2}+xy+xy+y^{2})

Se reducen términos semejantes dentro del segundo paréntesis:

(x+y)^{3}=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2})

Se multiplica el binomio x+y por el trinomio cuadrado perfecto x^{2}+2xy+y^{2}

(x+y)^{3}=x^{3}+2x^{2}y+xy^{2}+x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}

Finalmente, se reducen términos semejantes:

(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}

Ejemplo:

(2x+y)^{3}

El producto se obtiene de manera directa al aplicar la fórmula:

(2x+y)^{3}=8x^{3}+12x^{2}y+6xy^{2}+y^{3}

Si se desarrolla el producto se tiene que:

(2x+y)^{3}=(2x+y)(2x+y)(2x+y)

Se multiplica, término a término, un par de binomios para obtener un producto entre un binomio y un trinomio cuadrado perfecto:

(2x+y)^{3}=(2x+y)(4x^{2}+2xy+2xy+y^{2})

Se reducen término semejantes dentro del segundo paréntesis:

(2x+y)^{3}=(2x+y)(4x^{2}+4xy+y^{2})

Se multiplica cada término del binomio por cada término del trinomio cuadrado perfecto:

(2x+y)^{3}=8x^{3}+8x^{2}y+2xy^{2}+4x^{2}y+4xy^{2}+y^{3}

Por último, se reducen términos semejantes:

(2x+y)^{3}=8x^{3}+12x^{2}y+6xy^{2}+y^{3}

Ejercicios con respuesta del cubo de la suma de un binomio

  • (x+2y)^3=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3
  • (2x+2y)^3=8x^3+24x^2y+24xy^2+8y^3
  • (3x+y)^3=27x^3+27x^2y+9xy^2+y^3
  • (3x+2y)^3=27x^3+54x^2y+36xy^2+8y^3
  • (4x+6y)^3=64x^3+288x^2y+432xy^2+216y^3
  • (5v+4w)^3=125v^3+300v^2w+240vw^2+64w^3
  • (7y+2z)^3=343y^3+294y^2z+84yz^2+8z^3
  • (4x+4y)^3=64x^3+192x^2y+192xy^2+64y^3

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Cómo citar

García, Sergio. (03 noviembre 2023). Cubo de la suma de un binomio – qué es, fórmula, ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 18 noviembre 2023.